Đáp án: $P\ge \dfrac{12}{\sqrt{407}}$

Giải thích các bước giải:

Giả sử $P$ đạt giá trị nhỏ nhất khi $a=x, b=y, c=z$

Ta có:

$2(a^3+a^3+x^3)\ge 2\cdot 3\sqrt[3]{a^3\cdot a^3\cdot x^3}=6xa^2$

$3(b^3+b^3+y^3)\ge 3\cdot 3\sqrt[3]{b^3\cdot b^3\cdot y^3}=9yb^2$

$4(c^3+c^3+z^3)\ge 4\cdot 3\sqrt[3]{c^3\cdot c^3\cdot z^3}=12zc^2$

Cộng vế với vế của $3$ bất đẳng thức trên

$\to 2(2a^3+3b^3+4c^3)+2x^3+3y^3+4z^3\ge 6xa^2+9yb^2+12zc^2$

$\to 2P+2x^3+3y^3+4z^3\ge 6xa^2+9yb^2+12zc^2$

Chọn $x,y,z$ thỏa mãn:

$\begin{cases}\dfrac{6x}{1}=\dfrac{9y}{2}=\dfrac{12z}{3}\\ x^2+2y^2+3z^2=1\end{cases}$

$\to \begin{cases}x=\dfrac{6}{\sqrt{407}}\\ y=\dfrac{8}{\sqrt{407}}\\ z=\dfrac{9}{\sqrt{407}}\end{cases}$

$\to P\ge \dfrac{12}{\sqrt{407}}$ khi $a=\dfrac{6}{\sqrt{407}}, b=\dfrac{8}{\sqrt{407}}, c=\dfrac{9}{\sqrt{407}}$

Đáp án:

$P_{min}=\frac{12}{\sqrt{407}}\Leftrightarrow a=\frac{6}{\sqrt{407}}, b=\frac{8}{\sqrt{407}}, c=\frac{9}{\sqrt{407}}$

Giải thích các bước giải:

 Dự đoán bất đẳng thức xảy ra khi $a=x, b=y, c=z$

Áp dụng bất đẳng thức $AM-GM$ ta được

$2(a^{3}+a^{3}+x^{3})\geq 6xa^{2}$ 

$3(b^{3}+b^{3}+y^{3})\geq 9yb^{2}$ 

$4(c^{3}+c^{3}+z^{3})\geq 12zc^{2}$ 

Cộng ba bất đẳng thức vế theo vế ta được :

$2P+2x^{3}+3y^{3}+4z^{3}\geq 6xa^{2}+9yb^{2}+12zc^{2}$

Từ đó tìm x,y,z thỏa mãn $\left\{\begin{matrix} &\frac{6x}{1}=\frac{9y}{2}=\frac{12z}{3} \\ &x^{2}+2y^{2}+3z^{2}=1 \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} &x=\frac{6}{\sqrt{407}} & \\ &y=\frac{8}{\sqrt{407}} & \\ &z=\frac{9}{\sqrt{407}} & \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow P\geq \frac{12}{\sqrt{407}}$

Vậy $P_{min}=\frac{12}{\sqrt{407}}\Leftrightarrow a=\frac{6}{\sqrt{407}}, b=\frac{8}{\sqrt{407}}, c=\frac{9}{\sqrt{407}}$