Bài 6:

c)

Xét $\Delta AMB$ và $\Delta AMC$, ta có:

$AM$ là cạnh chung

$MB=MC$ ( $M$ là trung điểm $BC$ )

$AB=AC$ ( gt )

$\to \Delta AMB=\Delta AMC$ ( c.c.c )

$\to \widehat{AMB}=\widehat{AMC}$ ( hai góc tương ứng )

Mà $\widehat{AMB}+\widehat{AMC}=180{}^\circ $ ( hai góc kề bù )

Nên $\widehat{AMB}=\widehat{AMC}=\frac{180{}^\circ }{2}=90{}^\circ $

Hay nói cách khác $AM\bot BC$ tại $M$

d)

Vì $\Delta ABM=\Delta DCM$ ( chứng minh ở câu a )

$\to AB=DC$ ( hai cạnh tương ứng )

Mà $AB=AC$ ( gt )

Nên $DC=AC$

$\to \Delta ACD$ cân tại $C$

$\to \widehat{ADC}=\widehat{DAC}$

Nếu $\widehat{ADC}=30{}^\circ $

Thì $\widehat{DAC}=30{}^\circ $

Khi đó trong $\Delta AMC$ vuông tại $M$ ta sẽ có:

$\,\,\,\,\,\,\widehat{DAC}+\widehat{ACB}=90{}^\circ $

$\to \widehat{ACB}=90{}^\circ -\widehat{DAC}$

$\to \widehat{ACB}=90{}^\circ -30{}^\circ $

$\to \widehat{ACB}=60{}^\circ $

Mà $\Delta ABC$ lại là tam giác cân ( vì $AB=AC$ )

Vậy $\Delta ABC$ sẽ là tam giác đều

Kết luận: $\Delta ABC$ là tam giác đều thì $\widehat{ADC}=30{}^\circ $

……………………………………………………

Bài 7

a)

$\,\,\,\,\,\,\widehat{BAK}=\widehat{CAD}\,\,\,\,\,\,\left( =90{}^\circ  \right)$

$\to \widehat{BAK}+\widehat{BAC}=\widehat{CAD}+\widehat{BAC}$

$\to \widehat{KAC}=\widehat{BAD}$

Xét $\Delta ACK$ và $\Delta ADB$, ta có:

$AC=AD$ ( gt )

$\widehat{KAC}=\widehat{BAD}$ ( cmt )

$AK=AB$ ( gt )

$\to \Delta ACK=\Delta ADB$ ( c.g.c )

b)

Gọi:

$G$ là giao điểm $CK$ và $BD$

$F$ là giao điểm $AC$ và $BD$

Vì $\Delta ACK=\Delta ADB$ ( cmt )

$\to \widehat{ACK}=\widehat{ADB}$ ( hai góc tương ứng )

Mặt khác:

$\,\,\,\,\,\,\widehat{GFC}=\widehat{AFD}$ ( hai góc đối đỉnh )

Cộng vế theo vế, ta được:

$\,\,\,\,\,\,\widehat{ACK}+\widehat{GFC}=\widehat{ADB}+\widehat{AFD}$

$\to \widehat{ACK}+\widehat{GFC}=90{}^\circ $

$\to \Delta GFC$ vuông tại $G$

$\to GC\bot GF$

$\to KC\bot BD$