Đáp án:

Giải thích các bước giải:

Với p là nửa chu vi, R là bán kính đường tròn ngoại tiếp của tam giác

Ta có $p-a, p-b,p-c$ lần lượt là các số dương nên ta có

$\sqrt[3]{(p-a)(p-b)(p-c)} \le \frac{3p-a-b-c}{3}=\frac{p}{3}$ (do $2p=a+b+c$)

$\Rightarrow p^3 \ge 27(p-a)(p-b)(p-c)$

$\Rightarrow p^2\ge 27\frac{(p-a)(p-b)(p-c)}{p}=27r^2(1)$ (do $r=\frac{S}{p}=\frac{\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)}}{p}$)

Bây giờ ta đi chứng minh $R\ge 2r \Rightarrow R^2 \ge 4r^2$

Ta có

$\frac{R}{r}=\frac{\frac{abc}{4S}}{\frac{S}{p}}=\frac{pabc}{4S^{2}}=\frac{abc}{4\left ( p-a \right )\left ( p-b \right )\left ( p-c \right )}=\frac{2abc}{\left ( a+b-c \right )\left ( b+c-a \right )\left ( c+a-b \right )}$

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM $\sqrt{\left ( a+b-c \right )\left ( b+c-a \right )}\leq b$, tương tự 

$\sqrt{\left ( b+c-a \right )\left ( a+c-b \right )}\leq c $ và $\sqrt{\left ( a+b-c \right )\left ( a+c-b \right )}\leq a $

$\Rightarrow \left ( a+b-c \right )\left ( b+c-a \right )\left ( c+a-b \right )\leq abc\Rightarrow \frac{2abc}{\left ( a+b-c \right )\left ( b+c-a \right )\left ( c+a-b \right )}\geq 2\Leftrightarrow R\geq 2r(2)$

Cộng (1) và (2) ta được $p^2+R^2 \ge 31r^2$ mà theo đề ta có $p^2+R^2 \ge 31r^2$ nên dấu$"="$ xảy ra. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $\left \{ {{p-a=p-b=p-c} \atop {R=2r}} \right. \Leftrightarrow ΔABC đều$ 

$\text{Chúc học tốt}$