Đáp án:

Giải thích các bước giải:

a) Tam giác ABM nội tiếp trong đường tròn (O) có AB là đường kính nên vuông tại M

Suy ra: AN ⊥ BM

Tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (O) có AB là đường kính nên vuông tại C

Suy ra: AC ⊥ BN

Tam giác ABN có hai đường cao AC và BM cắt nhau tại E nên E là trọng tâm của tam giác ABN

Suy ra: NE ⊥ AB

b) Ta có: MA = MN ( tính chất đối xứng tâm)

                 ME = MF ( tính chất đối xứng tâm)

Tứ giác AENF có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi điểm đường nên nó là hình bình hành.

Suy ra:    AF // NE

Mà          NE ⊥ AB ( chứng minh trên)

Suy ra: AF ⊥ AB tại A.

Vậy FA là đường trung tuyến của đường tròn (O).

c) Trong tam giác ABN ta có: AN ⊥ BM và AM = AN

Suy ra tam giác ABN cân tại B.

Suy ra BA = BN hay N thuộc đường tròn (B; BA)

Tứ giác AFNE là hình bình hành nên  AE // FN hay FN // AC

Mặt khác: AC ⊥ BN ( chứng minh trên)

Suy ra: FN ⊥ BN tại N

Vậy FN là tiếp tuyến của đường tròn ( B; BA).

Giải thích các bước giải:

 a. Vì M,C thuộc đường tròn tâm O bán kính AB

-> góc AMB =90 -> BM⊥AN tại M

góc ACB=90 -> AC⊥BN tại C

Ta có: góc NME+ góc NCE=90+90=180 

-> MNCE là tứ giác nội tiếp 

-> M,N,C,E cùng thuộc một đường tròn (đpcm)

b. Xét tam giác NAB có đường cao AC,BM

mà AC,BM cắt nhau tại E

-> E là trực tâm tam giác NAB

-> NE là đường cao

-> NE⊥AB (đpcm)

c. Vì N là điểm đối xứng với A qua M  -> M là trung điểm của AN

Vì F là điểm đối xứng với E qua M -> M là trung điểm của EF

-> Tứ giác AFNE là hình bình hành 

-> NE//AF

mà NE⊥AB

-> AF⊥AB

-> AF là tiếp tuyến của (O) (đpcm)

d. Vì tam giác BAN có đường cao BM, đường trung tuyến BM

-> tam giác BAN cân tại B

-> BM là đường phân giác 

Xét ΔBAF và ΔBNF có: 

BA = BN

BF chung 

góc ABF= góc NBF ( vì BF là đường phân giác)

-> ΔBAF = ΔBNF (c.g.c)

-> góc BAF=góc BNF =90 

-> BN⊥NF

-> FN là tiếp tuyến của đường tròn (B,BN) hay đường tròn (B,BA) (đpcm)