Giải thích các bước giải:

a.Vì $\Delta ABM,\Delta ACN$ vuông cân tại $A\to AM\perp AB, AN\perp AC, AM=AB, AN=AC$

Xét $\Delta AMC, \Delta ABN$ có:

$AM=AB$

$\widehat{MAC}=90^o+\widehat{BAC}=\widehat{BAN}$

$AC=AN$ 

$\to\Delta AMC=\Delta ABN(c.g.c)$

$\to \widehat{AMC}=\widehat{ABN}$ 

Gọi $AB\cap MC=D, BN\cap CM=E$

$\to \widehat{AMD}=\widehat{DBE}$

Lại có $\widehat{ADM}=\widehat{BDE}$ (Đối đỉnh)

$\to \widehat{DEB}=180^o-\widehat{DBE}-\widehat{BDE}=180^o-\widehat{DMA}-\widehat{MDA}=\widehat{MAD}=90^o$

$\to DE\perp EB\to CM\perp BN$

b.Trên tia đối của tia $HA$ lấy điểm $K$ sao cho $HA=HK$

Xét $\Delta HAB,\Delta HCK$ có:

$HA=HK$

$\widehat{AHB}=\widehat{CHK}$ (đối đỉnh)

$HB=HC$ vì $H$ là trung điểm $BC$

$\to \Delta HAB=\Delta HKC(c.g.c)$

$\to AB=CK,\widehat{HAB}=\widehat{HKC}\to AB//CK$

Mà $AB=AM\to CK=AM$

Mặt khác $\widehat{ACK}=180^o-\widehat{BAC}$ vì $AB//CK$

$\to \wideaht{ACK}=360^o-90^o-90^o-\widehat{BAC}=\widehat{MAN}$

Xét $\Delta AMN,\Delta CKA$ có:

$AM=CK$

$\widehat{MAN}=\widehat{ACK}$

$AN=AC$

$\to\Delta AMN=\Delta CKA(c.g.c)$

$\to MN=AK=2AH$

$\to AH=\dfrac12MN$