Mừng tuổi tết mọi người nha !!! Chứng minh rằng : $\ 1^{3} + 2^{3} + 3^{3} + ... + n^{3} = (1 + 2 + 3 + ... + n)^{2}$ câu hỏi 1602717 - hoctapsgk.com
Mừng tuổi tết mọi người nha !!! Chứng minh rằng : $\ 1^{3} + 2^{3} + 3^{3} + ... + n^{3} = (1 + 2 + 3 + ... + n)^{2}$
Lời giải 1 :
Ta cần chứng minh : $1^3+2^3+3^3+....+n^3 = (1+2+3+....+n)^2$ $(*)$
+) Xét $n=1$ thì $(*)$ đúng
+) Xét $n=2$ thì $(*)$ đúng
+) Giả sử $n=k$ đúng với $(*)$ Tức là :
$1^3+2^3+....+k^3 = (1+2+...+k)^2$
Ta cần chứng minh $(*)$ đúng vớ $n=k+1$
Thật vậy ta có :
$1^3+2^3+3^3+.....+(k+1)^3$
$ = (1^3+2^3+....+k^3)+(k+1)^3$
$ = (1+2+....+k)^2 + (k+1)^3$ $(1)$
Ta sẽ chứng minh $2.(k+1).(1+2+.....+k+(k+1)^2 = (k+1)^3$
Thấy $2.(k+1).(1+2+3+...+k)+(k+1)^2$
$ = 2.(k+1).\dfrac{(k.(k+1)}{2}$
$ = k.(k+1)^2 + (k+1)^2$
$ = (k+1)^2.(k+1) = (k+1)^3$ ( Đúng )
Khi đó $(1)$ trở thành :
$1^3+2^3+3^3+....+(k+1)^3 = (1+2+...+k)^2+2.(k+1).(1+2+....+k) + (k+1)^2 = (k+1)^3$
$\to đpcm$
Vậy $(*)$ đúng với mọi $n$ tự nhiên.
Thảo luận
Lời giải 2 :
Đặt biểu thức cần chứng minh là $(1)$
Với $n=1$ thì hiển nhiên $(1)$ đúng.
Giả sử $(1)$ đúng với $n=k$
Ta viết lại thành : $1^3+2^3+...+k^3=(1+2+...+k)^2$
Ta sẽ chứng minh $(1)$ đúng với $n=k+1$
Ta viết lại thành : $1^3+2^3+...+k^3+(k+1)^3=(1+2+...+k+k+1)^2$
Xét vế phải :
$=(1+2+...+k)^2 + 2 (1+2+...+k)(k+1)+(k+1)^2\\=1^3+2^3+...+k^3+2.\dfrac{k(k+1)}{2}(k+1)+(k^2+2k+1)\\=1^3+2^3+...+k^3 + [k(k^2+2k+1)+k^2+2k+1]\\=1^3+2^3+...+k^3+(k+1)^3\text{(Bằng vế trái)}$
$\to$ Với $n=k+1$ thì $(1)$ đúng
Vậy $(1)$ được chứng minh theo giả thiết quy nạp.
Có thể bạn quan tâm
Bạn có biết?
Toán học là môn khoa học nghiên cứu về các số, cấu trúc, không gian và các phép biến đổi. Nói một cách khác, người ta cho rằng đó là môn học về "hình và số". Theo quan điểm chính thống neonics, nó là môn học nghiên cứu về các cấu trúc trừu tượng định nghĩa từ các tiên đề, bằng cách sử dụng luận lý học (lôgic) và ký hiệu toán học. Các quan điểm khác của nó được miêu tả trong triết học toán. Do khả năng ứng dụng rộng rãi trong nhiều khoa học, toán học được mệnh danh là "ngôn ngữ của vũ trụ".
Nguồn : Wikipedia - Bách khoa toàn thưTâm sự 11
Lớp 11 - Năm thứ hai ở cấp trung học phổ thông, gần đến năm cuối cấp nên học tập là nhiệm vụ quan trọng nhất. Nghe nhiều đến định hướng sau này rồi học đại học. Ôi nhiều lúc thật là sợ, hoang mang nhưng các em hãy tự tin và tìm dần điều mà mình muốn là trong tương lai nhé!
Nguồn : ADMIN :))Xem thêm tại https://loigiaisgk.com/cau-hoi or https://giaibtsgk.com/cau-hoi
Copyright © 2021 HOCTAPSGK