$AM$ là trung tuyến

$\to M$ là trung điểm $BC$

a)

$\Delta AMB$ có $ME$ là phân giác $\widehat{AMB}$

$\to \dfrac{EA}{EB}=\dfrac{MA}{MB}$

Mà $MB=MC$ ( $M$ là trung điểm $BC$ )

$\to \dfrac{EA}{EB}=\dfrac{MA}{MC}$

$\Delta AMC$ có $MF$ là phân giác $\widehat{AMC}$

$\to \dfrac{FA}{FC}=\dfrac{MA}{MC}$

$\to \dfrac{EA}{EB}=\dfrac{FA}{FC}$

Xét $\Delta ABC$ có:

$\dfrac{EA}{EB}=\dfrac{FA}{FC}$

$\to EF\,\,||\,\,BC$

b)

Xét $\Delta ABM$ có $OE\,\,||\,\,BM$

$\to \dfrac{OE}{BM}=\dfrac{AO}{AM}$ ( hệ quả của định lý Ta-let )

Xét $\Delta ACM$ có $OF||\,\,CM$

$\to \dfrac{OF}{CM}=\dfrac{AO}{AM}$ ( hệ quả của định lý Ta-let )

$\to \dfrac{OE}{BM}=\dfrac{OF}{CM}$

Mà $BM=CM$ ( $M$ là trung điểm $BC$ )

Nên $OE=OF$

c)

$M$ là trung điểm $BC$

$\to BM=\dfrac{1}{2}.BC=\dfrac{1}{2}.30=15\,\,\,\left( cm \right)$

Xét $\Delta ABM$  có $ME$ là phân giác $\widehat{AMB}$

$\to \dfrac{EA}{EB}=\dfrac{MA}{MB}$

Xét $\Delta ABM$ có $OE\,\,||\,\,BM$

$\to \dfrac{EA}{EB}=\dfrac{OA}{OM}$ ( định lý Ta-let )

$\to \dfrac{MA}{MB}=\dfrac{OA}{OM}$

$\to \dfrac{OM}{MB}=\dfrac{OA}{MA}$

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

$\dfrac{OM}{MB}=\dfrac{OA}{MA}=\dfrac{OM+OA}{MB+MA}=\dfrac{MA}{MB+MA}=\dfrac{10}{15+10}=\dfrac{2}{5}$

$\to OA=MA.\dfrac{2}{5}=10.\dfrac{2}{5}=4\,\,\,\left( cm \right)$

$\Delta ABM$ có $OE\,\,||\,\,BM$

$\to \dfrac{OE}{BM}=\dfrac{OA}{AM}$

$\to OE=\dfrac{OA.BM}{AM}=\dfrac{4.15}{10}=6\,\,\,\left( cm \right)$

$\to EF=2.OE=2.6=12\,\,\,\left( cm \right)$