a)

$\begin{cases}\widehat{ABM}=\dfrac{1}{2}\widehat{ABC}\\\widehat{ACN}=\dfrac{1}{2}\widehat{ACB}\\\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\end{cases}\to\,\,\,\,\,\widehat{ABM}=\widehat{ACN}$

Xét $\Delta ABM$ và $\Delta ACN$ có:

$\begin{cases}\widehat{BAC}\text{ là góc chung }\\AB=AC\\\widehat{ABM}=\widehat{ACN}\end{cases}$

$\to \Delta ABM=\Delta ACN$

$\to AM=AN$

$\to \Delta AMN$ cân tại $A$

$\to \widehat{ANM}=\dfrac{180{}^\circ -\widehat{BAC}}{2}$

Mặt khác $\widehat{ABC}=\dfrac{180{}^\circ -\widehat{BAC}}{2}$ ( vì $\Delta ABC$ cân tại $A$ )

Nên $\widehat{ANM}=\widehat{ABC}$

Mà 2 góc này nằm ở vị trí đồng vị

$\to MN\,\,||\,\,BC$

b)

Xét $\Delta ABC$ có $BM$ là phân giác $\widehat{ABC}$:

$\to \dfrac{MA}{MC}=\dfrac{BA}{BC}$

$\to \dfrac{MA}{BA}=\dfrac{MC}{BC}$

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

$\dfrac{MA}{BA}=\dfrac{MC}{BC}=\dfrac{MA+MC}{BA+BC}=\dfrac{AC}{BA+BC}=\dfrac{5}{5+6}=\dfrac{5}{11}$

$\to MA=BA.\dfrac{5}{11}=5.\dfrac{5}{11}=\dfrac{25}{11}\,\,\,\left( cm \right)$

$\to MC=BC.\dfrac{5}{11}=6.\dfrac{5}{11}=\dfrac{30}{11}\,\,\,\left( cm \right)$

$\Delta ABC$ có $MN\,\,||\,\,BC$:

$\to \dfrac{AM}{AC}=\dfrac{MN}{BC}$ ( hệ quả của định lý Ta-let )

$\to MN=\dfrac{AM.BC}{AC}=\dfrac{\dfrac{25}{11}.6}{5}=\dfrac{30}{11}\,\,\,\left( cm \right)$

c)

Kẻ đường cao $AH$ của $\Delta ABC$ cân tại $A$

$\to AH$ cũng là trung tuyến

$\to H$ là trung điểm $BC$

$\to HB=\dfrac{1}{2}BC=\dfrac{1}{2}.6=3\,\,\,\left( cm \right)$

Xét $\Delta ABH$ vuông tại $H$:

$\to A{{B}^{2}}=H{{B}^{2}}+A{{H}^{2}}$ ( định lý Pi-ta-go )

$\to AH=\sqrt{A{{B}^{2}}-H{{B}^{2}}}$

$\to AH=\sqrt{{{5}^{2}}-{{3}^{2}}}$

$\to AH=4\,\,\,\left( cm \right)$

 ${{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{1}{2}.AH.BC=\dfrac{1}{2}.4.6=12\,\,\,\left( c{{m}^{2}} \right)$

Xét $\Delta ANM$ và $\Delta ABC$ có:

$\widehat{BAC}$ là góc chung

$\widehat{ANM}=\widehat{ABC}$ ( $NM\,\,||\,\,BC$, hai góc đồng vị )

$\to \Delta ANM\sim \Delta ABC$

$\to \dfrac{{{S}_{\Delta ANM}}}{{{S}_{\Delta ABC}}}={{\left( \dfrac{AM}{AC} \right)}^{2}}$

$\to {{S}_{\Delta ANM}}={{S}_{\Delta ABC}}.{{\left( \dfrac{AM}{AC} \right)}^{2}}=12.{{\left( \dfrac{\dfrac{25}{11}}{5} \right)}^{2}}=\dfrac{300}{121}\,\,\,\left( c{{m}^{2}} \right)$

`a)` $BM$ là phân giác của `\hat{B}` (gt)

`=>{AM}/{MC}={AB}/{BC}`

$CN$ là phân giác của `\hat{C}` (gt)

`=>{AN}/{NB}={AC}/{BC}`

Mà `AB=AC` (gt)

`=>{AM}/{MC}={AN}/{NB}`

`=>MN`//$BC$ (định lý Talet đảo)

$\\$

`b)` $AB=AC=5cm;BC=6cm$

 Từ câu a ta có:

`{AM}/{MC}={AB}/{BC}`

`=>{AM}/{AB}={MC}/{BC}={AM+MC}/{AB+BC}={AC}/{AB+BC}` (tính chất dãy tỉ số bằng nhau)

`=>{AM}/5={MC}/6=5/{5+6}=5/{11}`

`=>{AM}/5=5/{11}=>AM={5.5}/{11}={25}/{11}cm`

`\qquad {MC}/6=5/{11}=>MC={6.5}/{11}={30}/{11}cm`

$\\$

Xét $∆ABC$ có $MN$//$BC$ (câu a)

`=>{MN}/{BC}={AM}/{AC}` (hệ quả định lý Talet)

`=>MN={AM.BC}/{AC}={{25}/{11}.6}/5={30}/{11}cm`

Vậy: `AM={25}/{11}cm;MC={30}/{11}cm;MN={30}/{11}cm`

$\\$

`c)` Vì $AB=AC$ (gt)

`=>∆ABC` cân tại $A$

Vẽ $AH\perp BC$ $(H\in BC)$

`=>AH` là đường trung tuyến của $∆ABC$

`=>H` là trung điểm $BC$

`=>BH=1/ 2 BC=1/ 2 .6=3cm`

Xét $∆ABH$ vuông tại $H$

`=>AH^2+BH^2=AB^2` (định lý Pytago)

`=>AH^2=AB^2-BH^2=5^2-3^2=16`

`=>AH=4cm`

`S_{∆ABC}=1/ 2 AH.BC=1/ 2 .4.6=12cm^2`

$\\$

Xét $∆ANM$ và $∆ABC$ có:

`\hat{A}` chung

`\hat{ANM}=\hat{ABC}` (hai góc đồng vị do $MN$//$BC$)

`=>∆ANM∽∆ABC` (g-g)

`=>{S_{∆ANM}}/{S_{∆ABC}}=({MN}/{BC})^2`

`=>S_{∆ANM}=S_{∆ABC}.({MN}/{BC})^2`

`=12.({{30}/{11}}/6)^2={300}/{121}cm^2`

Vậy `S_{∆ABC}=12cm^2;S_{∆AMN}={300}/{121}cm^2`