Giải thích các bước giải:

a.Ta có đồ thị hàm số $(P): y=-\dfrac{x^2}{2}$ là Parabol có đỉnh $(0,0)$ và đi qua $5$ điểm $(2,-2), (-2,-2), (4,-8), (-4,-8)$

b.Ta có $M\in (P), x_m=4$

$\to y_m=-\dfrac{4^2}{2}=-8$

$\to M(4,-8)$

$\to$Phương trình đường thẳng đi qua $O(0,0), M(4,-8)$ là:

$$y=-2x$$

c.Gọi $A$ là điểm có hoành độ là $2$ trên đồ thị $(P)$

$\to y_a=-\dfrac{2^2}{2}=-2\to A(2,-2)$

$\to$Phương trình đường thẳng $(D_1)$ đi qua $A(2,-2)$ và song song với $(D_2):y=2x+1$ là:

$y=2(x-2)+(-2)\to y=2x-6$

d.Để $(P)\cap (D_2):y=x+2m$ tại điểm có hoành độ $x=2$

$\to$Phương trình $-\dfrac{x^2}{2}=x+2m$ có nghiệm $x=2$

$\to -\dfrac{2^2}{2}=2+2m$

$\to -2=2+2m$

$\to 2m=-4$

$\to m=-2$

e.Để $(P)\cap (D_2)$ tại điểm có hoành độ bằng $-2$

$\to -\dfrac{x^2}{2}=\dfrac12x-2m$ có nghiệm $x=-2$

$\to -\dfrac{(-2)^2}{2}=\dfrac12\cdot (-2)-2m$

$\to -2=-1-2m$

$\to m=\dfrac12$

f.Ta có $x_a=-2\to y_a=-\dfrac{(-2)^2}{2}=-2\to A(-2,-2)$

           $x_b=4\to y_b=-\dfrac{4^2}{2}=-8\to B(4,-8)$

$\to$Phương trình $AB$ là:

$\dfrac{x-(-2)}{4-(-2)}=\dfrac{y-(-2)}{-8-(-2)}$

$\to \dfrac{x+2}{6}=\dfrac{y+2}{-6}$

$\to x+2=-(y+2)$

$\to x+y+4=0$

g.Ta có $y=-4\to -4=-\dfrac{x^2}{2}$

$\to x^2=8$

$\to x=\pm2\sqrt{2}$

$\to (2\sqrt{2},- 4),(-2\sqrt{2},- 4)$ là điểm thuộc $(P)$ có tung độ bằng $-4$

h.Ta có: $y=2x$

Mà $y=-\dfrac{x^2}{2}$

$\to 2x=-\dfrac{x^2}{2}$

$\to 4x=-x^2$

$\to x^2+4x=0$

$\to x(x+4)=0$
$\to x\in\{0,-4\}$

$\to y\in\{0,-8\}$

$\to (0,0), (-4,-8)$ là hai điểm cần tìm

i.Ta có: $2y=3x\to y=\dfrac32x$

Mà $y=-\dfrac{x^2}{2}\to \dfrac32x=-\dfrac{x^2}{2}$

$\to 3x=-x^2$

$\to x^2+3x=0$

$\to x(x+3)=0$

$\to x\in\{0,-3\}$

$\to y\in\{0,-\dfrac92\}$

$\to (0,0), (-3,-\dfrac92)\}$ là $2$ điểm cần tìm

k.Gọi điểm cần tìm là $A$

Vì điểm $A$ cách đều $2$ trục tọa độ $\to A(a,a)$ hoặc $A(a,-a)$

Mà $A\in (P)$

$\to a=-\dfrac{a^2}{2}\to 2a=-a^2\to a^2+2a=0\to a(a+2)=0\to a\in\{0,-2\}\to A(0,0)$ hoặc $A(-2,-2)$ 

Hoặc $-a=-\dfrac{a^2}{2}\to 2a=a^2\to a^2-2a=0\to a(a-2)=0\to a\in\{0,2\}\to A(0,0)$ hoặc $A(2,-2)$

$\to $Điểm thuộc $(P)$ cách đều $2$ trục tọa độ là $A(0,0), A(-2,-2), A(2,-2)$