Giải thích các bước giải:

a.Ta có $\Delta AHI$ có đường phân giác đồng thời là đường cao

$\to\Delta AHI$ cân tại $A$

$\to \widehat{AHI}=\widehat{AIH}$

Kẻ $BD//AI$

$\to\widehat{BDH}=\widehat{AIH}=\widehat{AHI}=\widehat{BHD}$

$\to\Delta BHD$ cân tại $B$

$\to BH=BD$

Xét $\Delta BDK,\Delta CIK$ có:

$\widehat{BKD}=\widehat{IKC}$

$KB=KC$ vì $K$ là trung điểm $BC$

$\widehat{KBD}=\widehat{KCI}$ vì $BD//AI$

$\to\Delta KBD=\Delta KCI(g.c.g)$

$\to BD=CI$

$\to CI=BH$

b.Trên tia đối của tia $KA$ lấy điểm $F$ sao cho $KA=KF$

Xét $\Delta KAB,\Delta KFC$ có:

$KA=KF$

$\widehat{AKB}=\widehat{CKF}$

$KB=KC$

$\to\Delta KAB=\Delta KCF(c.g.c)$

$\to \widehat{KAB}=\widehat{KFC}, CF=AB$

Mà $AB<AC\to CF<AC$

$\to \widehat{KAC}<\widehat{KFC}$

$\to \widehat{KAC}<\widehat{KAB}$

c.Ta có $M,N$ là trung điểm $AB,AC$

$\to MA=MB=\dfrac2AB, NA=NC=\dfrac12AC$

$\to BN^2+CM^2=(BA^2+AN^2)+(CA^2+AM^2)$

$\to BN^2+CM^2=(BA^2+CA^2)+(AN^2+AM^2)$

$\to BN^2+CM^2=(BA^2+CA^2)+((\dfrac12AC)^2+(\dfrac12BA)^2)$

$\to BN^2+CM^2=(BA^2+CA^2)+\dfrac14(AB^2+AC^2)$

$\to BN^2+CM^2=\dfrac54(AB^2+AC^2)$

$\to BN^2+CM^2=\dfrac54BC^2$

d.Gọi đường thẳng đi qua trung điểm và vuông góc với $PQ$ giao với trung trực $BC$ tại $G$

$\to G\in$ trung trực $PQ, BC$

$\to GP=GQ, GB=GC$

Mà $BP=CQ$

$\to\Delta GBP=\Delta GQC(c.c.c)$

$\to \widehat{PBG}=\widehat{GCQ}$

$\to\widehat{ABG}=\widehat{GCA}$

$\to G,A,B,C$ cùng thuộc một đường tròn

$\to G$ là giao của đường tròn ngoại tiếp $\Delta ABC$ và trung trực $BC$ 

$\to G$ cố định

$\to$ đường thẳng đi qua trung điểm và vuông góc với $PQ$ luôn đi qua $G$ cố định