Nếu góc $\alpha \le 10{}^\circ $

Theo quy ước bên vật lý, nếu góc $\alpha \le 10{}^\circ $, ta sẽ có được: $s=l.\alpha $

Công thức thế năng bên con lắc lò xo:

${{W}_{t}}=\dfrac{1}{2}m{{\omega }^{2}}{{x}^{2}}$

Còn bên con lắc đơn, đổi chữ $x$ thành $s$

${{W}_{t}}=\dfrac{1}{2}m{{\omega }^{2}}{{s}^{2}}$

$\begin{cases}\omega=\sqrt{\dfrac{g}{l}}\\s=l.\alpha\end{cases}\to\,\,\,\,\,\begin{cases}\omega^2=\dfrac{g}{l}\\s^2=l^2.\alpha^2\end{cases}$

${{W}_{t}}=\dfrac{1}{2}.m.\dfrac{g}{l}.{{l}^{2}}.{{\alpha }^{2}}$

${{W}_{t}}=\dfrac{1}{2}.m.g.l.{{\alpha }^{2}}$

………………………………………….

Nếu góc $\alpha >10{}^\circ $

Con lắc đơn bao gồm 1 sợi dây không dãn chiều dài $l$, một đầu cố định, một đầu gắn vào một vật có khối lượng $m$. Kéo vật $m$ của con lắc đơn từ $A$ đến  $B$ sao cho hợp với nhau một góc $\alpha $. Từ $B$ chiếu vào cạnh $OA$ tại điểm $C$ như hình vẽ.

Ta có công thức thế năng: ${{W}_{t}}=m.g.h$

Trong đó: $h$ là độ cao của vật so với vị trí cân bằng. Độ cao của vật là điểm $C$, vị trí cân bằng là điểm $A$. Tức là $h=CA$

${{W}_{t}}=m.g.h$

${{W}_{t}}=m.g.CA$

${{W}_{t}}=m.g.\left( OA-OC \right)$

$\Delta OCB$ vuông tại $C$

$\to \cos \alpha =\dfrac{OC}{OB}\to OC=OB.\cos \alpha$

${{W}_{t}}=m.g.\left( OA-OB.\cos \alpha  \right)$

${{W}_{t}}=m.g.\left( l-l.\cos \alpha  \right)$

${{W}_{t}}=m.g.l\left( 1-\cos \alpha  \right)$

Đáp án:

Ta chứng minh như sau:

Với ∝ < 10° tức ∝ < 0,175 rad thì ta có:

$\begin{array}{l}
\sin \alpha  \approx \alpha \\
\cos \alpha  = \sqrt {1 - {{\sin }^2}\alpha } \\
 \Leftrightarrow \cos \alpha  = \sqrt {1 - {\alpha ^2}} \\
 \Leftrightarrow \cos \alpha  = {\left( {1 - {\alpha ^2}} \right)^{\dfrac{1}{2}}}
\end{array}$

Mà ∝² < 0,03 << 1 do đó:

$\cos \alpha  = {\left( {1 - {\alpha ^2}} \right)^{\dfrac{1}{2}}} = 1 - \dfrac{1}{2}.{\alpha ^2}$

Ta có thế năng được tính như sau:

${W_t} = mgl\left( {1 - \cos \alpha } \right) = mgl\left( {1 - \left( {1 - \dfrac{1}{2}.{\alpha ^2}} \right)} \right) = \dfrac{1}{2}mgl{\alpha ^2}$