Ta có: $OD\perp BC$ (gt)

Mà $OD\perp DM$ (vì $DM$ là tiếp tuyến tại $D$ của $(O)$)

`=>DM`//$BC$

`=>DM`//$CF$

Xét $∆CFK$ có $DM$//$CF$

`=>{DM}/{CF}={MK}/{CK}` (hệ quả định lý Talet) $(1)$

$\\$

$OD\perp BC$ tại $I$

`=>I` là trung điểm $BC$ (đường nối tâm vuông góc tại trung điểm dây cung)

`=>OD` là đường trung trực của $BC$

`=>BD=CD`

`=>\stackrel\frown{BD}=\stackrel\frown{CD}` (liên hệ dây và cung)

Ta có:

`\hat{AEC}=1/ 2 (sđ\stackrel\frown{AC}-sđ\stackrel\frown{BD})`

`\hat{AKC}=1/ 2 (sđ\stackrel\frown{AC}-sđ\stackrel\frown{CD})`

Mà `\stackrel\frown{BD}=\stackrel\frown{CD}`

`=>\hat{AEC}=\hat{AKC}`

`=>`Tứ giác $ACKE$ có hai đỉnh kề nhau $E$ và $K$ cùng nhìn cạnh $AC$ dưới hai góc bằng nhau

`=>ACKE` nội tiếp

`=>\hat{CEK}=\hat{CAK}` (cùng chắn cung $CK$)

Vì `\hat{CAK}=1/ 2 sđ\stackrel\frown{CD}=\hat{CDM}`

`=>\hat{CEK}=\hat{CDM}`

Mà `\hat{CEK}` và `\hat{CDM}` ở vị trí đồng vị 

`=>DM`//$EK$

Xét $∆CEK$ có: $DM$//$EK$

`=>{DM}/{EK}={CM}/{CK}` (hệ quả định lý Talet)$(2)$

Từ `(1);(2)=>{DM}/{CF}+{DM}/{EK}={MK}/{CK}+{CM}/{CK}`

`<=>DM. (1/{CF}+1/{EK})={MK+CM}/{CK}={CK}/{CK}=1`

`<=>1/{EK}+1/{CF}=1/{DM}` (đpcm)