Đáp án:

a) $AD=3cm, DC=5cm$

b) $\triangle ABI\backsim\triangle CBD$

c) $\dfrac{IH}{IA}=\dfrac{DA}{DC}$

Giải thích các bước giải:

a)

$\triangle ABC$ vuông tại A:

$AB^2+AC^2=BC^2$ (định lý Pytago)

$\to BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10(cm)$

$\triangle ABC$ có đường phân giác BD (gt)

$\to\dfrac{DA}{DC}=\dfrac{BA}{BC}=\dfrac{6}{10}=\dfrac{3}{5}\\\to DA=\dfrac{3}{5}DC$

Ta có:

$DA+DC=AC=8(cm)\\\to\dfrac{3}{5}DC+DC=8\\\to 8DC=40\\\to DC=5(cm)\to DA=8-5=3(cm)$

b)

$\triangle HAB$ vuông tại H:

$\widehat{HAB}+\widehat{HBA}=90^o$ (2 góc phụ nhau)

$\triangle ABC$ vuông tại A:

$\widehat{ACB}+\widehat{ABC}=90^o$ (2 góc phụ nhau)

$\to\widehat{HAB}=\widehat{ACB}$

Xét $\triangle ABI$ và $\triangle CBD$:

$\widehat{ABI}=\widehat{CBD}$ (gt)

$\widehat{BAI}=\widehat{BCD}$ (cmt)

$\to\triangle ABI\backsim\triangle CBD$ (g.g)

c)

Xét $\triangle HBA$ và $\triangle ABC$:

$\widehat{BHA}=\widehat{BAC}\,\,\,(=90^o)$

$\widehat{HBA}$: chung

$\to\triangle HBA\backsim\triangle ABC$ (g.g)

$\to\dfrac{BH}{BA}=\dfrac{BA}{BC}$

$\triangle HBA$ có đường phân giác BI (gt)

$\to\dfrac{IH}{IA}=\dfrac{BH}{BA}$

$\triangle ABC$ có đường phân giác BD (gt)

$\to\dfrac{DA}{DC}=\dfrac{BA}{BC}$

$\to\dfrac{IH}{IA}=\dfrac{DA}{DC}$