Bài này nếu làm theo cách trắc nghiệm, Thế lần lượt câu $A,B,C,D$ vào mặt phẳng $\left( P \right):2x-y-2z-13=0$, ta thấy chỉ có đáp án $A$ là đúng. Chọn câu $A$

………………………………………………………………………………

Cách làm tự luận:

$\begin{cases}M\left(2;1;4\right)\\N\left(1;1;3\right)\end{cases}\to\,\,\,\,\,\overrightarrow{MN}=\left(-1;0;-1\right)$

$\left( P \right):2x-y-2z-13=0$

$\to $VTPT $\overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}}=\left( 2;-1;-2 \right)$

Ta thấy:

$\overrightarrow{MN}\,\,.\,\,\overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}}=0$

Vậy $MN\,\,||\,\,\left( P \right)$ và hai điểm $M,N$ cùng nằm một phía so với mặt phẳng

${{S}_{\Delta IMN}}=\dfrac{1}{2}\,\,.\,\,{{d}_{\left( I\,\,;\,\,MN \right)}}\,\,.\,\,MN$

$\to $Để ${{S}_{\Delta IMN}}$ là nhỏ nhất thì khoảng cách ${{d}_{\left( I\,\,;\,\,MN \right)}}$ là nhỏ nhất

Điều này chỉ xảy ra khi điểm $I$ nằm trên một đường thẳng $\Delta $, trong đó $\Delta $ là giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( P \right)$ và $\left( Q \right)$, còn $\left( Q \right)$ là mặt phẳng đi qua $MN$ và vuông góc với $\left( P \right)$

Ta viết phương trình mặt phẳng $\left( Q \right)$ đi qua $MN$ và vuông góc với $\left( P \right)$

VTPT: $\overrightarrow{{{n}_{\left( Q \right)}}}=\left[ \overrightarrow{MN}\,\,.\,\,\overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}} \right]=\left( -1;-4;1 \right)$

Phương trình mặt phẳng $\left( Q \right)$ có $\overrightarrow{{{n}_{\left( Q \right)}}}=\left( -1;-4;1 \right)$ và đi qua $M\left( 2;1;4 \right)$ có dạng:

$\left( Q \right):\,\,\,-1\left( x-2 \right)-4\left( y-1 \right)+1\left( z-4 \right)=0$

$\left( Q \right):\,\,\,-x-4y+z+2=0$

$\Delta =\left( P \right)\,\,\cap \,\,\left( Q \right)$

$\Delta=\begin{cases}2x-y-2z-13=0\\-x-4y+z+2=0\end{cases}$

Thế lần lượt câu $A,B,C,D$  vào cả 2 phương trình trên, ta chọn đáp án  $A$