a) 

Xét $\Delta ABC$, ta có:

$M$ là trung điểm $AB$

$N$ là trung điểm $BC$

$\to MN$ là đường trung bình của $\Delta ABC$

$\to MN=\frac{1}{2}AC$ và $MN\,\,||\,\,AC$

$\to MN=\frac{1}{2}AC$ và $ME\,\,||\,\,AC$

Xét tứ giác $ACEM$, ta có:

$ME\,\,||\,\,AC$

$CE\,\,||\,\,AM$

$\to ACEM$ là hình bình hành

b) 

Xét $\Delta MCE$, ta có:

$N$ là trung điểm $BC$

$O$ là trung điểm $MC$

$\to NO$ là đường trung bình của $\Delta MCE$

$\to NO=\frac{1}{2}CE$

Mà:

$\begin{cases}CE=AM\\AM=\dfrac{1}{2}AB\end{cases}$

$\to NO=\frac{1}{2}.\frac{1}{2}AB$

$\to NO=\frac{1}{4}AB$

Tứ giác $ACEM$ là hình bình hành

Có $O$ là trung điểm $MC$

Nên $O$ cũng là trung điểm $AE$

Hay nói cách khác $3$ điểm $A,O,E$ thẳng hàng

c) 

Xét $\Delta ABC$ có:

$N$ là trung điểm $BC$

$NF\,\,||\,\,AB$

$\to F$ là trung điểm $AC$

Ta có:

$\begin{cases}AM=\dfrac{1}{2}AB\\AF=\dfrac{1}{2}AC\\AB=AC\end{cases}\to\,\,\,\,\,AM=AF$

Xét tứ giác $MNFA$, ta có:

$MN\,\,||\,\,AF$

$NF\,\,||\,\,AM$

$\to MNFA$ là hình bình hành

Có: $AM=AF$

Nên $MNFA$ là hình thoi

d) 

Vì $ACME$ là hình bình hành

$\to CE=AM$ và $CE\,\,||\,\,AM$

$\to CE=MB$ và $CE\,\,||\,\,MB$

$\to BECM$ là hình bình hành

Để $BECM$ là hình chữ nhật thì:

$\widehat{BMC}=90{}^\circ $

$\to CM\bot AB$

$\to CM$ là đường cao của $\Delta ABC$

Mà $CM$ cũng là đường trung tuyến $\Delta ABC$

$\to \Delta ABC$ cân tại $C$

Mà $\Delta ABC$ lại cân tại $A$

$\to \Delta ABC$ là tam giác đều:

Kết luận:

$\Delta ABC$ đều thì tứ giác $BECM$ là hình chữ nhật