a) trong 31 số đó có ít nhất 1 số dương( giả sử 31 số đều âm thì tổng 5 số bất kì không thể là 1 số dương)

tách số đó ra. chia 30 số còn lại thành 6 nhóm, mỗi nhóm có 5 số.

=>mỗi nhóm cót ổng là 1 số dương. cộng thêm số dương bị tách

=> tổng 31 số đó là 1 số dương(đpcm)

b)ta có:

A=1111...11=9999...99/9=10000...0-1/9=$\frac{10^{100}-1}{9}$     (100 số 1; 100 số 9; 100 số 0)

B=22222...2=2.111...1=2.$\frac{9999...9}{9}$ =2.$\frac{10^{100}-1}{9}$    (50 số 2; 50 số 1)

=> A-B=$\frac{10^{100}-1}{9}$-2.$\frac{10^{100}-1}{9}$=$\frac{10^{100}-1-2(10^{50}-1)}{9}$ =$\frac{10^{100}-1-2.10^{50}+2}{9}$ =$\frac{(10^{50})^{2}-2.10^{50}.1+1}{9}$ =$3333...3^{2}$ (50 số 3)

vậy A-B là 1 số chính phương

a)  Vì tổng của 5 số bất kì là một số nguyên dương nên trong 31 số phải có ít nhất 1 số nguyên dương. 

Vậy số các nguyên còn lại là: 31-1=30 (số nguyên)

 Ta chia 30 số nguyên này ra thành 6 nhóm, mỗi nhóm gồm 5 số nguyên. Theo đề bài, ta có tổng của 5 số nguyên bất kì là 1 số nguyên dương, vậy tổng của 6 nhóm mà mỗi nhóm có 5 số nguyên là 1 số dương => 30 số nguyên còn lại là số dương.

b)  Vì tổng của 30 số hạng là 1 số nguyên dương, mà số còn lại cũng là số nguyên dương nên tổng 31 số là số nguyên dương 

Ta có A=11...11(100 số 1) ⇔A=1...10...0 + 1...1(50 số 1 vào 50 số 0) ⇔A=1....1.10^50+1....1(50 số 1) Đặt 50 lần số là a, ta có A=a.10^a+a và B=2a Vậy A-B=a.10^a-2a+a=a.10^a-a=a.(9a+1)-a=9a²+...‡ Vậy A-B là 1 số chính phương