Giải thích các bước giải:

1.Ta có $H,M$ đối xứng qua $AB\to AM=AN, HM\perp AB=D$ là trung điểm $HM$

Tương tự $AH=AN,HN\perp AC=E$ là trung điểm $HN$ 

$\to AH=AM=AN$

Mà $AB\perp AC, HD\perp AB, HE\perp AC\to ADHE$ là hình chữ nhật

$\to AH=DE$

2.Ta có $M,H$ đối xứng qua $AB$

$\to\widehat{MAB}=\widehat{BAH}$

$\to \widehat{MAH}=2\widehat{BAH}$

Tương tự $\widehat{NAH}=2\widehat{HAC}$

$\to\widehat{MAN}=\widehat{MAH}+\widehat{HAN}=2\widehat{BAH}+2\widehat{CAH}=2\widehat{BAC}=2\cdot 90^o=180^o$

$\to M,A,N$ thẳng hàng

Mà $AM=AN\to A$ là trung điểm $MN$

$\to M,N$ đối xứng qua $A$

Lại có $M,H$ đối xứng qua $AB\to\widehat{AMB}=\widehat{AHB}=90^o$

$\to MB\perp AM\to MB\perp MN$

Tương tự $CN\perp MN$

$\to BMNC$ là hình thang vuông tại $M,N$

3.Ta có: $\Delta ABC$ vuông tại $A\to BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=10$

Mà $AH\perp BC\to AH.BC=AB.AC(=2S_{ABC})=\dfrac{24}{5}$

$\to AM=AN=AH=\dfrac{24}{5}\to MN=2AH=\dfrac{48}{5}$

Lại có: $M,H$ đối xứng qua $AB\to BM=BH$

Tương tự $CH=CN$

Do $BCNM$ là hình thang vuông

$\to S_{BMNC}=\dfrac12MN\cdot (BM+CN)$

$\to S_{BMNC}=\dfrac12MN\cdot (BH+CH)$

$\to S_{BMNC}=\dfrac12MN\cdot BC$

$\to S_{BMNC}=48$