`a)` Ta có:

`\hat{BEC}=90°` (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

`=>BE`$\perp AC$

`=>\hat{BEA}=90°=>\hat{HEA}=90°`

`\hat{BFC}=90°` (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

`=>CF`$\perp AB$

`=>\hat{CFA}=90°=>\hat{HFA}=90°`

`=>\hat{HEA}+\hat{HFA}=180°`

`=>` Tứ giác $AEHF$ nội tiếp (đpcm)

Xét $∆DBH$ và $∆DAC$ có:

`\hat{BDH}=\hat{ADC}=90°`

`\hat{DBH}=\hat{DAC}` (cùng phụ `\hat{DCA}`)

`=>∆DBH∽∆DAC`(g-g)

`=>{DB}/{DA}={DH}/{DC}`

`=>DB.DC=DH.DA` (đpcm)

$\\$

`b)` Vì $BE\perp AC;CF\perp AB$

`=>`$BE;CF$ là hai đường cao của $∆ABC$

Mà $BE;CF$ cắt nhau tại $H$

`=>H` là trực tâm $∆ABC$

`=>AD`$\perp BC$

`=>\hat{HDB}=90°`

`=>\hat{HFB}+\hat{HDB}=90°+90°=180°`

`=>` Tứ giác $BDHF$ nội tiếp 

`=>\hat{HFD}=\hat{HBD}` (cùng chắn cung $HD$)

`=>\hat{CFD}=\hat{EBC}`

Vì `\hat{EBC}=\hat{EFC}` (cùng chắn cung $EC$)

`=>\hat{CFD}=\hat{EFC}=1/ 2 sđ\stackrel\frown{EC}`

Mà tia $FC$ nằm giữa hai tia $FD$ và $FE$

`=>FC` là phân giác của `\hat{DFE}`

`=>\hat{DFE}=2\hat{EFC}`

Ta lại có:

`\hat{EOC}=sđ\stackrel\frown{EC}` (góc ở tâm chắn cung $EC$)

`=>\hat{EOC}=2\hat{EFC}`

`=>\hat{DFE}=\hat{EOC}`

`=>` Tứ giác $EFDO$ nội tiếp (đpcm)

`=>\hat{FDO}+\hat{FEO}=180°` $(1)$

Mà $∆OEF$ cân tại $O$ (vì $OE=OF=R$)

`=>\hat{FEO}=\hat{EFO}` $(2)$

Ta có:

`\hat{MFO}+\hat{EFO}=180°` (kề bù) $(3)$

Từ `(1);(2);(3)=>\hat{MFO}=\hat{FDO}`

Xét $∆MFO$ và $∆FDO$ có:

`\hat{O}` chung

`\hat{MFO}=\hat{FDO}` (c/m trên)

`=>∆MFO∽∆FDO` (g-g)

`=>{MO}/{FO}={FO}/{DO}`

`=>DO.MO=FO^2=R^2` (đpcm)

$\\$

`c)` Ta có:

`\qquad DO.DM=DO.(MO-DO)`

`=DO.MO-DO^2=R^2-DO^2`

`=OB^2-OD^2=(OB-OD).(OB+OD)`

`=DB.(OC+OD)=DB.DC=DH.DA` (câu a)

`=>DH.DA=DO.DM` (đpcm)

`=>{DO}/{DA}={DH}/{DM}`

Xét $∆ODH$ và $∆ADM$ có:

`\hat{ODH}=\hat{ADM}=90°` 

`{DO}/{DA}={DH}/{DM}` (c/m trên)

`=>∆ODH∽∆ADM` (c-g-c)

`=>\hat{DOH}=\hat{DAM}`

`=>\hat{MON}+\hat{OMN}=\hat{DOH}+\hat{DMA}`

`=\hat{DAM}+\hat{DMA}=90°`

`=>\hat{MNO}=180°-(\hat{MON}+\hat{OMN})=180°-90°=90°`

`=>∆OMN` vuông tại $N$

`=>ON`$\perp AM$

`=>\hat{ANH}=90°`

`=>\hat{ANH}=\hat{AFH}=\hat{AEH}=90°`

`=>` $5$ điểm $A;N;F;H;E$ cùng thuộc đường tròn đường kính $AH$ (đpcm)