a)

Xét $\Delta DAB$ và $\Delta EAC$, ta có:

+   $\widehat{BAC}$ là góc chung

+   $\widehat{ADB}=\widehat{AEC}=90{}^\circ $

$\to \Delta DAB\backsim\Delta EAC\left( g.g \right)$

$\to \dfrac{AD}{AE}=\dfrac{AB}{AC}$

$\to AE.AB=AD.AC$

b)

Xét $\Delta HEB$ và $\Delta HDC$, ta có:

+   $\widehat{EHB}=\widehat{DHC}$ (hai góc đối đỉnh)

+   $\widehat{HEB}=\widehat{HDC}=90{}^\circ $

$\to \Delta HEB\backsim\Delta HDC\left( g.g \right)$

$\to \dfrac{HE}{HD}=\dfrac{HB}{HC}$

$\to \dfrac{HE}{HB}=\dfrac{HD}{HC}$

Xét $\Delta HED$ và $\Delta HBC$, ta có:

+   $\widehat{EHD}=\widehat{BHC}$ (hai góc đối đỉnh)

+   $\dfrac{HE}{HB}=\dfrac{HD}{HC}\left( cmt \right)$

$\to \Delta HED\backsim\Delta HBC\left( g.g \right)$

c)

Xét $\Delta ADH$ vuông tại $D$ có $DK$ là trung tuyến

$\to KD=KH=KA$

Xét $\Delta ABC$ có hai đường cao $BD,CE$ cắt nhau tại $H$

$\to H$ là trực tâm của $\Delta ABC$

$\to AH\bot BC$ tại $F$

Xét $\Delta FHC$ và $\Delta FBA$, ta có:

+   $\widehat{FCH}=\widehat{FAB}$ (cùng phụ $\widehat{ABC}$)

+   $\widehat{HFC}=\widehat{BFA}=90{}^\circ $

$\to \Delta FHC\backsim\Delta FBA\left( g.g \right)$

$\to \dfrac{HF}{BF}=\dfrac{CF}{AF}$

$\to BF.CF=HF.AF$

$\to BF.CF=\left( KF-KH \right)\left( KF+KA \right)$

$\to BF.CF=\left( KF-KD \right)\left( KF+KD \right)$

$\to BF.CF=K{{F}^{2}}-K{{D}^{2}}$