`a)` Xét $∆MAC$ và $∆MDA$ có:

`\hat{M}` chung

`\hat{MAC}=\hat{MDA}` (cùng chắn cung $AC$)

`=>∆MAC∽∆MDA`(g-g)

`=>{MA}/{MD}={MC}/{MA}`

`=>MA.MA=MC.MD` (đpcm)

$\\$

`b)` $MA;MB$ là hai tiếp tuyến cắt nhau tại $M$

`=>MA=MB`

Mà $OA=OB$ =bán kính của $(O)$

`=>OM` là đường trung trực của $AB$

`=>OM`$\perp AB$ tại $H$

`=>\hat{AHM}=90°`

`=>\hat{PHM}=90°`

Vì $I$ là trung điểm dây cung $CD$ (gt)

`=>OI`$\perp CD$ tại $I$ (đường nối tâm vuông góc tại trung điểm dây cung)

`=>PI`$\perp MD$ tại $I$

`=>\hat{PIM}=90°`

Tứ giác $MHIP$ có `\hat{PHM}=\hat{PIM}=90°`

`=>`Tứ giác $MHIP$ nội tiếp (đpcm)

$\\$

`c)` $∆AOM$ vuông tại $A$ có $AH\perp OM$

`=>MA^2=MH.MO` (hệ thức lượng trong tam giác vuông)

Ta lại có: `MA^2=MC.MD` (câu a)

`=>MH.MO=MC.MD`

`=>{MC}/{MO}={MH}/{MD}`

Xét $∆MCH$ và $∆MOD$ có:

`\hat{M}` chung

`{MC}/{MO}={MH}/{MD}`

`=>∆MCH∽∆MOD` (c-g-c)

`=>\hat{MHC}=\hat{MDO}`

`=>\hat{MHC}=\hat{CDO}` $(1)$

`=>`Tứ giác $CDOH$ nội tiếp 

`=>\hat{DHO}=\hat{DCO}` $(2)$ (cùng chắn cung $OD$)

Ta có: `OC=OD`=bán kính của $(O)$

`=>∆OCD` cân tại $O$

`=>\hat{DCO}=\hat{CDO}` $(3)$

Từ `(1);(2);(3)=>\hat{MHC}=\hat{DHO}=\hat{CDO}`

Ta có:

`\hat{CHD}=180°-(\hat{MHC}+\hat{DHO})`

`=180°-2\hat{CDO}` 

Vì `\hat{CDO}` không đổi nên `\hat{CHD}=180°-2\hat{CDO}` không đổi khi $M$ di chuyển tên tia đối của tia $CD$ (đpcm)