`a)` $BC$ là đường kính của $(O)$; $E;D\in (O)$

`=>\hat{BEC}=\hat{BDC}=90°` (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

`=>CE`$\perp AB$ tại $E$

`\qquad BD`$\perp AC$ tại $D$

`=>CE;BD` là hai đường cao của $∆ABC$

Ta lại có $AK\perp BC$ tại $K$ (gt)

`=>AK` là đường cao $∆ABC$

`=>AK;BD;CE` đồng quy tại trực tâm $H$ của $∆ABC$ (tính chất $3$ đường cao tam giác)

Vậy `AK` đi qua giao điểm $H$ của $CE$ và $BD$ (đpcm)

$\\$

`b)` `\hat{EOD}=90°` (gt)

`=>∆EOD` vuông tại $O$

`=>DE^2=OD^2+OE^2` (định lý Pytago)

`<=>DE^2=R^2+R^2=2R^2`

`=>DE=R\sqrt{2}`

Ta có:

`\hat{EOD}=sđ\stackrel\frown{DE}` (góc ở tâm chắn cung $DE$)

`=>sđ\stackrel\frown{DE}=90°`

`\hat{ABD}=1/ 2 sđ\stackrel\frown{DE}=1/ 2 .90°=45°` (góc nội tiếp chắn cung $DE$)

$∆ABD$ vuông tại $D$

`=>\hat{BAD}+\hat{ABD}=90°` (hai góc phụ nhau)

`=>\hat{BAD}=90°-\hat{ABD}=90°-45°=45°`

`=>\hat{BAC}=45°`

$\\$

`c)` $∆ABD$ vuông tại $D$ có `\hat{ABD}=\hat{BAD}=45°`

`=>∆ABD` vuông cân tại $D$

`=>AD=BD`

Xét $∆ADH$ và $∆BDC$ có:

`\hat{ADH}=\hat{BDC}=90°`

`AD=BD` (c/m trên)

`\hat{DAH}=\hat{DBC}` (cùng phụ `\hat{BCD}`)

`=>∆ADH=∆BDC(g-c-g)`

`=>AH=BC`

Mà $BC$ là đường kính của $(O)$

`=>BC=2R`

`=>AH=2R`