$a)ABCD$ là hình bình hành

$\Rightarrow AB=CD;AD=BC;\widehat{C}=\widehat{DAB}=60^o;AD//BC$

$FE$ là đường trung bình hình bình hành(hình thang) $ABCD$

$\Rightarrow FE=\dfrac{AB+CD}{2}=AB(1)$

$AF=\dfrac{1}{2}AD=AB=BE(2)$

$(1)(2)\Rightarrow ABEF$ là hình thoi

$\Rightarrow AE \perp BF$

$b)\Delta ABF, AF=AB, \widehat{FAB}=60^o$

$\Rightarrow \Delta ABF$ đều

$\Rightarrow AB=BF=FA$

Mà $AB=BE=FE$

$\Rightarrow BF=FE=BE$

$\Rightarrow \Delta BEF$ đều

$\Rightarrow \widehat{FBE}=60^o=\widehat{C}\\ BFDC,FD//BC,\widehat{FBE}=\widehat{C}$

$\Rightarrow BFDC$ là hình thang cân

$c)M$ đối xứng với $A$ qua $B$

$\Rightarrow AB=BM=\dfrac{1}{2}AM\\ \Delta ADM:AM=2AB=AD;\widehat{DAM}=60^o$

$\Rightarrow \Delta DAM$ đều

Có $DB$ là trung tuyến vừa là đường cao

$\Rightarrow \Delta DB \perp AM\Rightarrow \widehat{DBM}=90^o\\ BDCM:BM//DC;BM=AB=DC;\widehat{DBM}=90^o$

$\Rightarrow BDCM$ là hình chữ nhật

$d)BDCM$ là hình chữ nhật, $E$ là trung điểm đường chéo $BC$

$\Rightarrow E$  cũng là trung điểm đường chéo $DM$

$\Rightarrow M,E,D$ thẳng hàng

$e)\Delta ABD$ vuông tại $B$

$\Rightarrow BD=\sqrt{AD^2-AB^2}=6\sqrt{3}\\ S_{ADCM}=S_{ABD}+S_{BDCM}\\ =\dfrac{1}{2}BD.AB+BD.BM\\ =\dfrac{1}{2}BD.AB+BD.AB\\ =54\sqrt{3}$