a. 

+ Ta có:

$AB = AC$.

$AN = MC$ ($N$ là trung điểm $AC$).

$AN = NB$ ($N$ là trung điểm $AB$).

$⇒ NB = MC$.

+ Xét $∆BNC$ và $∆CMB$, ta có: 

$NB = NC$.

$\widehat{B} = \widehat{C}$ ($∆ABC$ cân tại $A$).

$BC$ chung.

$⇒ ∆BNC = CMB$ (c.g.c) (đpcm).

b. 

+ Ta có: $\widehat{MBC} = \widehat{NCB}$ (hai góc tương ứng).

+ Hay: $\widehat{KBC} = \widehat{KCB}$.

$⇒ ∆KBC$ cân tại $K$ (đpcm).

c. 

+ Xét $∆ADC$, ta có: 

$N$ là trung điểm $BC$.

$N$ là trung điểm $AC$.

$⇒ MN$ là đường trung bình của $∆ABC$.

$⇒ MN = \frac{BC}{2}$.

+ Mà: $MN < NK + KM$ (bất đẳng thức thứ 4).

$⇒ \frac{BC}{2} < NK + KM$.

+ Mà: $NK = CN - CK$.

$⇒ \frac{BC}{2} < CN - CK + KM$.

+ Mà: $CN = BN$ ($∆ABC = ∆CMB$).

+ Và: $CK = BK$ ($∆KBC$ cân tại $K$).

$⇒ \frac{BC}{2} < BN - BK + KM$.

$⇒ \frac{BC}{2} < 2KM$.

$⇒ BC< 4KM$ (đpcm).

XIN HAY NHẤT. CHÚC EM HỌC TỐT.

a)

$NB=NA=\frac{1}{2}AB$ ( $N$ là trung điểm $AB$ )

$MC=MA=\frac{1}{2}AC$ ( $M$ là trung điểm $AC$ )

Mà $AB=AC$ ( $\Delta ABC$ cân tại $A$ )

$\to NB=NA=MC=MA$

Xét  $\Delta BNC$ và $\Delta CMB$, ta có:

$BC$ là cạnh chung

$\widehat{NBC}=\widehat{MCB}$ ( Vì $\Delta ABC$ cân tại $A$ )

$NB=MC$ ( cmt )

$\to \Delta BNC=\Delta CMB$ ( c.g.c )

b)

Xét $\Delta ABM$ và $\Delta ACN$, ta có:

$AB=AC$ ( Vì $\Delta ABC$ cân tại $A$ )

$\widehat{A}$ là góc chung

$AM=AN$ ( cmt )

$\to \Delta ABM=\Delta ACN$ ( c.g.c )

$\to \widehat{ABM}=\widehat{ACN}$ ( hai góc tương ứng )

$\to \widehat{NBK}=\widehat{MCK}$

Vì $\Delta BNC=\Delta CMB$ ( cmt )

$\to \widehat{BNC}=\widehat{CMB}$ ( hai góc tương ứng )

$\to \widehat{BNK}=\widehat{CMK}$

Xét $\Delta KNB$ và $\Delta KMC$, ta có:

$\widehat{NBK}=\widehat{MCK}$ ( cmt )

$NB=MC$ ( cmt )

$\widehat{BNK}=\widehat{CMK}$ ( cmt )

$\to \Delta KNB=\Delta KMC$ ( g.c.g )

$\to KB=KC$ ( hai cạnh tương ứng )

$\to \Delta KBC$ cân tại $K$

c)

Trên tia $NM$ lấy điểm $D$ sao cho $MN=MD$

Xét $\Delta MAN$ và $\Delta MCD$, ta có:

$MA=MC$ ( $M$ là trung điểm $AC$ )

$\widehat{AMN}=\widehat{CMD}$ ( hai góc đối đỉnh )

$MN=MD$ ( gt )

$\to \Delta MAN=\Delta MCD$ ( c.g.c )

$\to AN=CD$

$\to NB=CD$

$\Delta MAN=\Delta MCD$

$\to \widehat{ANM}=\widehat{CDM}$

Mà hai góc này nằm ở vị trí so le trong

$\to AN//CD$

$\to NB//CD$

$\to \widehat{BNC}=\widehat{DCN}$

Xét $\Delta NCB$ và  $\Delta CND$, ta có:

$NC$ là cạnh chung

$NB=CD$ ( cmt )

$\widehat{BNC}=\widehat{DCN}$

$\to \Delta NCB=\Delta CND$  ( c.g.c )

$\to BC=ND$ ( hai cạnh tương ứng )

Mà $ND=2MN$

Nên $BC=2MN$

Vì $\Delta KNB=\Delta KNC$

$\to KM=KN$

Theo bất đẳng thức trong tam giác $KNM$, ta luôn có

$\,\,\,\,\,KN+KM>MN$

$\to KM+KM>MN$

$\to 2KM>MN$

$\to 4KM>2MN$

$\to 4KM>BC$

$\to BC<4KM$