Đáp án:

$a$ = { 0 ; 4 }

Giải thích các bước giải:

S = $\frac{8a+19}{4a+1}$ = $\frac{8a+2+17}{4a+1}$  = $2$ $+$ $\frac{17}{4a +1}$ 

Để S có giá trị nguyên thì :     17 phải chia hết cho $4a+1$ ⇒ $4a+1$ ∈ $Ư_{17}$={ ±1 ; ±17 }

⇒ Có 4TH là : $a+1$ ∈ { ±1 ; ± 17 }

TH1 : $4a+1$ = 1     ⇒$a$ = 0 / Chọn /

TH2 : $4a+1$ = -1   ⇒$a$ = -0,5 / Loại /

TH3 : $4a+1$ = 17  ⇒$a$ = 4 / Chọn /

TH4 : $4a+1$ = -17 ⇒$a$ = -4,5 / Loại /

Vậy $a$ = { 0 ; 4 }

Để 8a+19/4a+1 có giá trị nguyên thì 8a+19 phải chia hết cho 4a+1  (1)

mà 4a+1 chia hết cho 4a+1 => 8a+2 chia hết cho 4a+1   (2)

=> (8a+19)-(8a+2) chia hết cho 4a+1

=> 8a+19-8a-2 chia hết cho 4a+1

=> 17 chia hết cho 4a+1

=>4a+1 thuộc ước của 17 ={ -17;-1;1;17}

TH1 4a+1=-1

=> 4a=-2 => a=4/2(loại)

TH2 4a+1=1

=> 4a=0

=>a=0 (chọn)

TH3 4a+1=17

=> 4a=16

=> a=4 (chọn)

TH4 4a+1=-17

=>4a=-18

=> a=-9/2 (loại)

Vậy.....

                                                    HỌC GIỎI,XIN CÂU TRẢ LỜI HAY NHẤT