`a)`

Xét `ΔABC` vuông tại `A` `,` theo định lí Py - ta - go `,` ta có `:`

`BC^2 = AB^2 + AC^2`

Mà `AB = 6 ; AC = 8`

`=> BC^2 = 6^2 + 8^2`

`=> BC^2 = 100 ,` mà `BC > 0`

`=> BC^2 = 10^2`

`=> BC = 10 (  cm  )`

`b)`

Vì `BD` là tia phân giác của $\widehat{ABC}$

`=>` $\widehat{ABD}$ `=` $\widehat{CBD}$

`=>` $\widehat{ABD}$ `=` $\widehat{MBD}$

Vì `ΔABC` vuông tại `A` 

`=>` $\widehat{BAD}$ `=` $90^\circ$

 Vì `DM ⊥ BC` tại `M` 

`=>` $\widehat{DMB}$ `=` $90^\circ$

Xét  `Δ ABD` và `ΔDMB` có `:`

$\widehat{DMB}$ `=` $\widehat{BAD}$ `=` $90^\circ$

`BD` là cạnh chung

$\widehat{ABD}$ `=` $\widehat{MBD}$

`=>` `Δ ABD` `=` `ΔDMB` `(` cạnh huyền `-` góc nhọn `)`

`c)`

Ta có `:`  `AD ⊥ AB` tại `A`

`=> AC ⊥ BF` tại `A`

`=>` Đoạn thẳng `AC` là đường cao của `ΔBCF`

Ta có `:` `MD ⊥ BC` tại `M`

`=> FM ⊥ BC` tại `M`

`=>` Đoạn thẳng `MF` là đường cao của `ΔBCF`

Mà `AC` và `MF` cắt nhau tại `D` 

`=>` `D` là trực tâm của `ΔBCF`

Xét `ΔFBH` và `ΔCBH` có `:`

`HF = HC (` vì `H` là trung điểm của `FC` `)`

$\widehat{FBH}$ `=` $\widehat{CBH}$ `(` theo ý `b` `)`

`BH` là cạnh chung

`=>` `ΔFBH` và `ΔCBH` `(` `c.g.c` `)`

`=>`  $\widehat{BHF}$ `=` $\widehat{BHC}$ `(` `2` góc tương ứng `)`

`=> BH ⊥ FC` tại `H`

`=>` Đoạn thẳng `BH` là đường cao của đường cao của `ΔBCF`

Mà `D` là trực tâm của `ΔBCF`

`=> D ∈ BH`

`=> 3` điểm `D , B ,H` thẳng hàng 

Đáp án:

a) Áp dụng định lý Pytagoras ta có:

$BC^2=AB^2+AC^2$

$\Rightarrow BC=\sqrt{AB^2+AC^2}$

$\Rightarrow BC=\sqrt{6^2+8^2}$

$\Rightarrow BC=\sqrt{100}$

$\Rightarrow BC=10cm$

Vậy $BC=10cm$.

b) $BD$ là tia phân giác của $\widehat{ABC}$

$\Rightarrow\widehat{ABD}=\widehat{DBM}$ ($M\in BC$).

Xét hai tam giác $\Delta ABD$ và $\Delta DMB$ có:

$\left.\begin{array}{l}\widehat{ABD}=\widehat{BDM}\,\rm(cmt)\\BD\rm\ là\ cạnh\ chung\end{array}\right\}\Delta ABD=\Delta DMB\,\rm(ch-gn)$

c) $AD\,\bot\,AB\Rightarrow AD\,\bot\,BF$ ($A\in BF$).

$\Rightarrow AD$ là đường cao của $\Delta BCF$ ($D\in AC$)

$\Rightarrow AC$ là đường cao của $\Delta BCF$.

$MD\,\bot\,BC\Rightarrow MF\,\bot\,BC$ ($M\in BC$).

$\Rightarrow MF$ là đường cao của $\Delta BCF$.

Do $AC$ và $MF$ là đường cao của $\Delta BCF$ và $AC\cap MF=D$

$\Rightarrow D$ là trực tâm của $\Delta BCF$.

$\Rightarrow BD$ đi qua trực tâm của $\Delta BCF$.

$\Rightarrow BH$ đi qua trực tâm của $\Delta BCF$.

$\Rightarrow D\in BH\Rightarrow D$, $B$, $H$ thẳng hàng.