`a)` $AD\perp AB; AE\perp AC$ (gt)

`=>\hat{BAD}=\hat{CAE}=90°` 

`=>\hat{BAC}+\hat{CAD}=\hat{BAC}+\hat{EAB}`

`=>\hat{CAD}=\hat{EAB}`

Xét $∆ACD$ và $∆AEB$ có:

`AC=AE`(gt)

`\hat{CAD}=\hat{EAB}` (c/m trên)

`AD=AB` (gt)

`=>∆ACD=∆AEB` (c-g-c)

`=>\hat{ACD}=\hat{AEB}` (hai góc tương ứng)

`\qquad CD=EB` (hai cạnh tương ứng)

Vậy $BE=CD$ (đpcm)

$\\$

`b)` Gọi $F$ là giao điểm của $EB$ và $CD$

Áp dụng tính chất tổng $3$ góc trong tam giác bằng $180°$

Xét $∆AED$ có:

`\hat{AED}+\hat{EDA}+\hat{DAE}=180°`

Xét $∆EDF$ có:

`\hat{DEF}+\hat{EDF}+\hat{DFE}=180°`

`=>(\hat{AED}+\hat{DEF})+(\hat{EDA}+\hat{EDF})+\hat{DAE}+\hat{DFE}=180°+180°=360°`

`=>\hat{AEF}+\hat{ADF}+\hat{DAE}+\hat{DFE}=360°`

`=>\hat{ACD}+\hat{ADC}+(\hat{DAC}+\hat{CAE})+\hat{DFE}=360°`

`=>(\hat{ACD}+\hat{ADC}+\hat{DAC})+90°+\hat{DFE}=360°`

`=>180°+90°+\hat{DFE}=360°`

`=>\hat{DFE}=360°-(180°+90°)=90°`

`=>EF`$\perp CD$

`=>BE`$\perp CD$ (đpcm)

$\\$

`c)` Vẽ $AM\perp DE, (M\in DE); AM$ cắt $BC$ tại $N$

+) Xét $∆ACN$ và $∆EAI$ có:

`\hat{CAN}=\hat{AEI}` (cùng phụ `\hat{EAN}`)

`AC=EA` (gt)

`\hat{ACN}=\hat{EAI}` (cùng phụ `\hat{HAC}`)

`=>∆ACN=∆EAI` (g-c-g)

`=>NA=IE` (hai cạnh tương ứng) $(1)$

+) Xét $∆ABN$ và $∆DAI$ có:

`\hat{BAN}=\hat{ADI}` (cùng phụ `\hat{DAM}`)

`AB=DA` (gt)

`\hat{ABN}=\hat{DAI}` (cùng phụ `\hat{HAB}`)

`=>∆ABN=∆DAI` (g-c-g)

`=>NA=ID` (hai cạnh tương ứng) $(2)$

Từ `(1);(2)=>IE=ID` (đpcm)