a)

Xét $\Delta ABD$ nội tiếp $\left( O \right)$ có $AB$ là đường kính

$\to \widehat{ADB}=\widehat{BDF}=90{}^\circ $

$FB$ là tiếp tuyến của $\left( O \right)$

$\to \widehat{ABF}=90{}^\circ $

Xét $\Delta ABF$ và $\Delta BDF$, ta có:

$\widehat{AFB}$ là góc chung

$\widehat{ABF}=\widehat{BDF}=90{}^\circ $

$\to \Delta ABF\sim \Delta BDF$

b)

$ACDB$ nội tiếp $\left( O \right)$

$\to \widehat{ABD}=\widehat{ECD}\,\,\,\,\,\left( 1 \right)$ ( góc ngoài bằng góc đối trong )

Xét $\Delta ABD$ và $\Delta AFB$, ta có:

$\widehat{FAB}$ là góc chung

$\widehat{ADB}=\widehat{ABF}=90{}^\circ $

$\to \Delta ABD\sim \Delta AFB$

$\to \widehat{ABD}=\widehat{AFB}\,\,\,\,\,\left( 2 \right)$

Từ $\left( 1 \right)\,\,,\,\,\left( 2 \right)$, ta có $\widehat{ECD}=\widehat{AFB}$

Xét tứ giác $CEFD$ ta có:

$\widehat{ECD}=\widehat{AFB}$ ( chứng minh trên )

Nên $CEFD$ là tứ giác nội tiếp ( góc ngoài bằng góc đối trong )

c)

$\Delta ABD\sim \Delta AFB$ ( chứng minh trên )

$\to \dfrac{AB}{AF}=\dfrac{AD}{AB}$

$\to AD.AF=A{{B}^{2}}$

$\to AD.AF={{\left( 2R \right)}^{2}}$

$\to AD.AF=4{{R}^{2}}\,\,\,\left( =const \right)$

Xét $\Delta ACD$ và $\Delta AFE$, ta có:

$\widehat{EAF}$ là góc chung

$\widehat{ACD}=\widehat{AFE}$  ( Vì $CEFD$ là tứ giác nội tiếp, góc ngoài bằng góc đối trong )

$\to \Delta ACD\sim \Delta AFE$

$\to \dfrac{AC}{AF}=\dfrac{AD}{AE}$

$\to AC.AE=AD.AF$

Mà $AD.AF=4{{R}^{2}}$ ( chứng minh trên )

Nên $AC.AE=AD.AF=4{{R}^{2}}\,\,\,\left( =const \right)$

Vậy tích $AC.AE=AD.AF$ luôn luôn không đổi  $\left( =\,4{{R}^{2}} \right)$  khi $C,D$ di động trên nữa đường tròn