$O$ là giao điểm 3 đường phân giác kẻ từ $A,B,C$

Nên $O$ là tâm đường tròn nội tiếp $\Delta ABC$

Mà $\begin{cases}OE\bot AB\\ OF\bot BC\\ OH\bot AC\end{cases}$

Nên $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta HEF$

$\to OE=OF=OH$

Xét $\Delta BOE$  vuông tại $E$ và  $\Delta BOF$ vuông tại $F$, ta có:

$BO$ là cạnh chung

$OE=OF$

$\to \Delta BOE=\Delta BOF$

$\to BE=BF\,\,\,\,\,\left( 1 \right)$

Chứng minh tương tự, ta được:

$\Delta AOE=\Delta AOH$

$\to AE=AH$

$\to AE=IF\,\,\,\,\,\left( 2 \right)$

Lấy $\left( 1 \right)\,\,+\,\,\left( 2 \right)$, ta được:

$BE+AE=BF+IF$

$\to BA=BI$

Xét $\Delta BAK$ và $\Delta BIK$, ta có:

$\begin{cases}BA=BI\\BK\,\,\,\text{là cạnh chung}\\AK=IK\end{cases}$

$\to \Delta BAK=\Delta BIK$

$\to\widehat{ABK}=\widehat{IBK}$

$\to BK$ là phân giác $\widehat{ABI}$

Mà $BO$ cũng là phân giác $\widehat{ABI}$

Vậy $3$ điểm $B,O,K$ thẳng hàng

Đáp án:

 B,O,K thẳng hàng thông qua BO và OK cùng ⊥AI

Giải thích các bước giải:

ta có: O là giao điểm của 2 đường p/g của A∠ và C∠ nên BO là p/g của B∠⇒B1∠=B2∠

ΔBOE vuông tại E và ΔBOF vuông tại F có:

BO là cạnh chung

B1∠=B2∠

⇒ΔBOE=ΔBOF(cạnh huyền-góc nhọn)

Ta có:AE=AH(ΔAOE=ΔAOH)

BI=BF+FI=BE+AE+AB

⇒ΔABI CÂN TẠI B

có BO là phân giác ⇒BO là đường cao⇒BO⊥AI(1)

Ta có: AH=FI

OF=OH

⇒ΔAOH=ΔIOF⇒OA=OI⇒ΔOAI cân tại O có OK là trung tuyến⇒OK là đường cao⇒OK⊥AI(2)

(1)(2)⇒B,O,K thẳng hàng