1)

$\Delta ABE$ nội tiếp $\left( O \right)$ đường kính $AB$

$\to \widehat{BEA}=90{}^\circ $

$\Delta ACD$ nội tiếp $\left( O' \right)$, đường kính $AC$

$\to \widehat{CDA}=90{}^\circ $

Xét tứ giác $BCDE$, ta có:

$\widehat{BEA}=\widehat{CDA}$

$\to BCDE$ là tứ giác nội tiếp ( tứ giác có hai đỉnh cùng nhìn một cạnh bằng nhau )

2)

Tứ giác $AEBF$ nội tiếp $\left( O \right)$

$\to \widehat{AFE}=\widehat{ABE}$ ( cùng chắn $\overset\frown{AE}$ )

Tứ giác $ADCF$ nội tiếp $\left( O' \right)$

$\to \widehat{AFD}=\widehat{ACD}$ ( cùng chắn $\overset\frown{AD}$ )

Mà $\widehat{ABE}=\widehat{ACD}$ ( vì tứ giác $BCDE$ nội tiếp, hai góc cùng chắn $\overset\frown{ED}$ )

Nên $\widehat{AFE}=\widehat{AFD}$

Vậy $FA$ là tia phân giác $\widehat{EFD}$

3)

$\Delta ABF$ nội tiếp $\left( O \right)$ có $AB$ là đường kính

$\to \widehat{AFB}=90{}^\circ $

$\to FA\bot FB$

Xét $\Delta AHD$ có:

$FA$ là tia phân giác $\widehat{HFD}$

Mà $FA\bot FB$

Nên $FB$ là tia phân giác góc ngoài của $\Delta AHD$

Xét $\Delta AHD$ có:

$FA,FB$ lần lượt là tia phân giác góc trong, góc ngoài của tam giác

$\to \dfrac{FH}{FD}=\dfrac{AH}{AD}=\dfrac{BH}{BD}$

$\dfrac{AH}{AD}=\dfrac{BH}{BD}$

$\to AH.BD=BH.AD$