Sửa đề bài: Cho tam giác ABC cân tại C. Kẻ CI vuông góc với AB. Kẻ IH vuông góc với AC, IK vuông góc với BC.

a) Chứng minh IA = IB?

b) Chứng minh IH = IK?

c) Chứng minh HK song song với AB?

Giải thích các bước giải:

- Áp dụng chủ yếu TH bằng nhau của tam giác vuông: cạnh huyền - góc nhọn.

- Áp dụng quan hệ từ vuông góc - song song.

Trình bày lời giải:

a, Xét `ΔAIC` và `ΔBIC`, ta có:

- `AC = BC` (vì `ΔABC` cân tại `C`)

- `\hat{A} = \hat{B}` (vì `ΔABC` cân tại `C`)

- `\hat{CIA} = \hat{CIB} = 90^0` (vì `CI ⊥ AB`)

`⇒ ΔAIC = ΔBIC` (cạnh huyền - góc nhọn).

`⇒ IA = IB` (2 cạnh tương ứng)  (đpcm).

b, Vì `ΔAIC = ΔBIC` (câu a) `⇒ \hat{ACI} = \hat{BCI}` (2 góc tương ứng)

Xét `ΔCHI` và `ΔCKI`, ta có:

- `CI`: cạnh chung.

- `\hat{ACI} = \hat{BCI}` (cmt)

- `\hat{CHI} = \hat{CKI} = 90^0` (vì `IH ⊥ CH ; IK ⊥ CK`)

`⇒ ΔCHI = ΔCKI` (cạnh huyền - góc nhọn).

`⇒ IH = IK` (2 cạnh tương ứng)  (đpcm).

c, Vì `ΔCHI = ΔCKI` (câu b) `⇒ CH = CK` (2 cạnh tương ứng).

Gọi giao của `CI` và `HK` là `G`.

Xét `ΔCHG` và `ΔCKG`, ta có:

- `CH = CK` (cmt)

- `\hat{ACI} = \hat{BCI}` (câu b)

- `CG`: cạnh chung

`⇒ ΔCHG = ΔCKG` `(c.g.c)`

`⇒ \hat{CGH} = \hat{CGK}` (2 góc tương ứng)

Mà 2 góc này kề bù `⇒ \hat{CGH} = \hat{CGK} = 90^0`

`⇒ CG ⊥ HK`

Mà `CG` kéo dài cũng vuông góc với `AB`

`⇒ HK` // `AB` (quan hệ từ vuông góc đến song song)  (đpcm).