a)

Áp dụng định lý Pytago trong $\Delta ABC$ vuông tại $A$

Ta có $B{{C}^{2}}=A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}$

$\to {{13}^{2}}={{5}^{2}}+A{{C}^{2}}$

$\to A{{C}^{2}}={{13}^{2}}-{{5}^{2}}=144$

$\to AC=12cm$

b)

Xét $\Delta MAC$ và $\Delta MBD$, ta có:

+   $MA=MB\left( gt \right)$

+   $MC=MD\left( gt \right)$

+   $\widehat{AMC}=\widehat{BMD}$ (hai góc đối đỉnh)

$\to \Delta MAC=\Delta MBD\left( c.g.c \right)$

$\to \widehat{MAC}=\widehat{MBD}=90{}^\circ $ và $AC=BD$

c)

Xét $\Delta ACD$, ta có:

+   $AM$ là đường trung tuyến

+   $AK=\dfrac{2}{3}AM$

$\to K$ là trọng tâm của $\Delta ACD$

$\to CK$ đi qua trung điểm $AD$

Mà $N$ là giao điểm $CK$ và $AD$

$\to N$ là trung điểm $AD$

Xét $\Delta ABD$, ta có:

+   $BN$ là đường trung tuyến

+   $DM$ là đường trung tuyến

+   $I$ là giao điểm $BN$ và $DM$

$\to I$ là trọng tâm của $\Delta ABD$

$\to ID=\dfrac{2}{3}DM=\dfrac{2}{3}\cdot \dfrac{1}{2}CD=\dfrac{1}{3}CD$

$\to 3ID=CD$