Đáp án:

Giải thích các bước giải:

Bạn tự vẽ hình nha.

$a)$ Gọi $MN∩AB=E$

Thấy $ΔABC$ nội tiếp $(O)$ đường kính $AB$

$⇒ΔABC$ vuông tại $C⇒AC⊥BC⇒AM⊥BC$

Thấy $ΔABD$ nội tiếp $(O)$ đường kính $AB$

$⇒ΔABD$ vuông tại $D⇒AD⊥BD⇒AD⊥BM$

Xét $ΔAMB$ có:

$AM⊥BC⇒BC$ là đường cao

$AD⊥BM⇒AD$ là đường cao

Do $3$ đường cao trong $1$ tam giác cắt nhau tại $1$ điểm mà $AD∩BC=N$

$⇒N$ là trực tâm $ΔABM$

$⇒MN$ là đường cao $⇒MN⊥AB$ tại $E$

Xét $ΔMCN$ vuông tại $C$ có $K$ là trung điểm $MN$

$⇒CK$ là đường trung tuyến ứng với $MN$

`⇒CK=MK=NK=\frac{1}{2}MN⇒ΔCKN` cân tại $K$

$⇒∠KCN=∠KNC$

Do $∠ENB$ và $∠CNK$ đối đỉnh

$⇒∠ENB=∠CNK=∠KCN$

Ta có: $OC=OB$ (cùng là bán kính $(O)$)

$⇒ΔOCB$ cân tại $O⇒∠OCB=∠OBC=∠NBE$

Xét $ΔNEB$ vuông tại $E$

$⇒∠ENB+∠EBN=90^o⇒∠KCN+∠OCB=90^o$

$⇒∠KCO=90^o⇒KC⊥CO$

$⇒KC$ là tiếp tuyến $(O)(đpcm)$

$b)$ Gọi $PB∩CH=I'$

Kẻ tiếp tuyến tại $B$ của $(O)$ cắt $PK$ tại $G$

$⇒BG⊥AB$

Do $AP$ là tiếp tuyến $(O)⇒AP⊥AB$ 

Mà $CH⊥AB(GT)⇒AP////CH////GB$

$⇒I'H////AB;I'C////GB$

Do $AP;PC$ là tiếp tuyến $(O)⇒AP=PC(1)$

      $CG;GB$ là tiếp tuyến $(O)⇒CG=GB(2)$

Xét $ΔAPB$ có `I'H//AB⇒\frac{I'H}{AP}=\frac{I'B}{BP}(3)` (hệ quả định lí Ta-lét)

      $ΔPGB$ có $I'C////GB$

`⇒\frac{I'B}{BP}=\frac{CG}{PG}(4)` (định lí Ta-lét) và `\frac{PC}{PG}=\frac{I'C}{BG}(*)` (hệ quả định lí Ta-lét)

Từ `(*)⇒\frac{BG}{PG}=\frac{I'C}{PC}(5)`

Từ $(1);(2);(3);(4);(5)⇒I'C=I'H$

$⇒I'$ là trung điểm $CH$

Mà $I$ là trung điểm $CH⇒I≡I'$

Mà $I'∈BP⇒I∈BP$

$⇒B,I,P$ thẳng hàng (đpcm)