bài 2

a)có tam giác ABC cân tại A(gt)

=>AB=AC=5(cm)

có tam giác ABC cân tại A(gt)

AM là phân giác góc BAC(gt)

=>AM là đường cao ;AM là trung tuyến tam giác ABC

=>M là trung điểm BC

=>BM=CM=BC/2=6/2=3(cm)

Xét tam giác AMC vuông tại M có

AM^2+MC^2=AC^2(định lý pytago)

mà MC=3(cm);AC=5(cm)

=>AM^2+3^2=5^2

=>AM^2=25-9=16

=>AM=4(cm)

=>S ABC=1/2.BC.AH=1/2.6.4=12(cm^2)

b)Xét tứ giác AMCK có

O là trung điểm AC(gt)

O là trung điểm MK(M đối xứng với K qua O)

=>AMCK là hình bình hành

=>AK//MC

c)có AMCK là hình bình hành(câu b)

mà AM vuông góc với BC(câu a)

=>AMCK là hình chữ nhật

d)AMCK là hình vuông<=>AM=MC

<=>AM=MC=BM

<=>tam giác ABC vuông cân tại A(trung tuyến thuộc cạnh huyền)

bài 3

giải

a)tam giác ABC có AH vuông góc với BC(gt)

=>S ABC=1/2.AH.BC

có tam giác ABC vuông tại A(gt)

=>S ABC=1/2.AB.AC

=>1/2.AH.BC=1/2.AB.AC

=>AH.BC=AB.AC

b)Xét tứ giác ANMP có

NAM=90 độ(tam giác ABC vuông tại A)

ANM=90 độ(MN vuông góc với AB)

APM=90 độ(MP vuông góc với AC)

=>ANMP là hình chữ nhật

c)

d)có ANMP là hình chữ nhật(câu b)

=>AM=NP

Có tam giác AHM vuông tại H

=>AH<AM(đường vuông góc<đường xiên)

=>AM ngắn nhất khi M trùng H

hay NP ngắn nhất khi M trùng H

bài 4

giải

1)Xét tứ giác ADHE có

ADH=90 độ(DH vuông góc với AB)

AEH=90 độ(DE vuông góc với AC)

DAE= 90 độ(tam giác ABC vuông tại A)

=>AHDE là hình chữ nhật

=>AH=DE

2)

a)có ADHE là hình chữ nhật

=>AH cắt DE tại TĐ mỗi đường

mà AH giao DE ở O(gt)

=>O là trung điểm AH

Xét tam giác AHC có

O là trung điểm AH(cmt)

Q là trung điểm HC(gt)

=>OQ là đường trung bình tam giác AHC

=>OQ//AC

mà AC vuông góc với AB(tam giác ABC vuông tại A)

=>OQ vuông góc với AB

Xét tam giác ABP có

AH vuông góc với BQ(gt)

OQ vuông góc với AB(cmt)

OQ cắt AH tại O

=>O là trực tâm tam giác ABQ

b)Xét tam giác EHC vuông tại E có

Q là trung điểm HC(gt)

=>EQ=HQ=QC(trung tuyến thuộc cạnh huyền)

chứng minh tương tự có DP=PH=BP

có DPQE là hình thang(cmt)

=>S DPQE=1/2.DE.(EQ+DP)

=1/2.DE.(HQ+PH)=1/2.DE.PQ

=>2S DPQE=DE.PQ

 S ABC=1/2.AH.BC

mà AH=DE(cmt);1/2BC=PQ

=>S ABC=DE.PQư

=>2S DPQE=S ABC

bài 5

giải

a)có BH vuông góc với AC(H là trực tâm tam giác ABC)

CD vuông góc với AC(gt)

=>BH//CD

chứng minh tương tự có HC//DB

Xét tứ giác BHCD có BH//CD(cmt)

HC//BD(cmt)

=>BHCD là hình bình hành

b)có BHCD là hình bình hành(câu a)

=>BC cắt HD tại TĐ mỗi đường

mà M là trung điểm BC(gt)

=>M là trung điểm HD

Xét tam giác AHD có O là trung điểm AD(gt)

M là trung điểm HD(cmt)

=>OM là đường trung bình tam giác AHD

=>OM=1/2AH

=>2OM=AH

c)

bài 6

giải

a)Xét tam giác PAM vuông tại A và tam giác MBC vuông tại B có

MA=MB(M là trung điểm AB)

PMA=BMC(đối đỉnh)

=>tam giác PMA=tam giác CMB(cạnh góc vuông-góc nhọn kề)

PA=BC(cạnh tương ứng)

Xét tứ giác PACB có

PA//BC(cùng vuông góc với AB)

PA=BC(cmt)

=>PACB là hình bình hành

Xét tứ giác BCDP có

BC//DP(BC//PA)

=>BCDP là hình thang

b)có BCDP là hình thang(cmt)

=>S BCDP=1/2.AB.(BC+PD)=1/2.BC.(AP+AD+BC)=1/2.BC.3BC=3/2.BC^2

=>2S BCDP=2.3/2.BC^2=3BC^2

có PABC là hình bình hành(câu a)

=>S PABC=AB.CB=BC.BC=BC^2

=>3S PACB=3BC^2

=>3S PACB=2S BCDP

c)

bài 7

giải

có AC=AN+NC

mà AC=9;AN=5

=>NC=AC-AN=9-5=4

Xét tam giác ABC có MN//BC

=>AM/x=AN/NC(định lý talet)

=>3/x=5/4

=>x=3.4/5=12/5