a)

Xét $\Delta AHN$ và $\Delta ACH$, ta có:

+   $\widehat{HAC}$ là góc chung

+   $\widehat{ANH}=\widehat{AHC}=90{}^\circ $

$\to \Delta AHN\backsim\Delta ACH\left( g.g \right)$

$\to \dfrac{AH}{AC}=\dfrac{AN}{AH}$

$\to A{{H}^{2}}=AN.AC$

b)

Xét $\Delta AHM$ và $\Delta ABH$, ta có:

+   $\widehat{HAM}$ là góc chung

+   $\widehat{AMH}=\widehat{AHB}=90{}^\circ $

$\to \Delta AHM\backsim\Delta ABH\left( g.g \right)$

$\to \dfrac{AH}{AB}=\dfrac{AM}{AH}$

$\to A{{H}^{2}}=AM.AB$

Mà $A{{H}^{2}}=AN.AC$

$\to AM.AB=AN.AC$

$\to \dfrac{AM}{AC}=\dfrac{AN}{AB}$

Xét $\Delta AMN$ và $\Delta ACB$, ta có:

+   $\widehat{BAC}$ là góc chung

+   $\dfrac{AM}{AC}=\dfrac{AN}{AB}\left( cmt \right)$

$\to \Delta AMN\backsim\Delta ACB\left( c.g.c \right)$

c)

Vì $\Delta AMN\backsim\Delta ACB\left( cmt \right)$

$\to \widehat{AMN}=\widehat{ACB}$

Mà $\widehat{AMN}=\widehat{IMB}$ (hai góc đối đỉnh)

$\to \widehat{IMB}=\widehat{ACB}$

Xét $\Delta IMB$ và $\Delta ICN$, ta có:

+   $\widehat{IMB}=\widehat{ACB}\left( cmt \right)$

+   $\widehat{MIB}$ là góc chung

$\to \Delta IMB\backsim\Delta ICN\left( g.g \right)$

$\to \dfrac{IM}{IC}=\dfrac{IB}{IN}$

$\to \dfrac{IN}{IC}=\dfrac{IB}{IM}$

Xét $\Delta INB$ và $\Delta ICM$, ta có:

+   $\widehat{NIB}$ là góc chung

+   $\dfrac{IN}{IC}=\dfrac{IB}{IM}\left( cmt \right)$

$\to \Delta INB\backsim\Delta ICM\left( c.g.c \right)$

$\to \widehat{INB}=\widehat{ICM}$