Đáp án:

GTNN là $-1$ khi $x=6$

GTLN là $4$ khi $x=-\dfrac{3}{2}$

Giải thích các bước giải:

$A=\dfrac{27-12x}{{{x}^{2}}+9}$

$\bullet \,\,\,\,\,$Giá trị nhỏ nhất

$A=\dfrac{27-12x}{{{x}^{2}}+9}$

$A=\dfrac{\left( {{x}^{2}}-12x+36 \right)-\left( {{x}^{2}}+9 \right)}{{{x}^{2}}+9}$

$A=\dfrac{{{\left( x-6 \right)}^{2}}}{{{x}^{2}}+9}-1$

Ta có:

${{\left( x-6 \right)}^{2}}\ge 0$ với mọi $x$

${{x}^{2}}+9>0$ với mọi $x$

$\to \dfrac{{{\left( x-6 \right)}^{2}}}{{{x}^{2}}+9}\ge 0$ với mọi $x$

$\to \dfrac{{{\left( x-6 \right)}^{2}}}{{{x}^{2}}+9}-1\ge -1$ với mọi $x$

$\to A\ge -1$ với mọi $x$

$\to {{\min }_{A}}=-1$

Dấu “=” xảy ra khi $x=6$

$\bullet \,\,\,\,\,$Giá trị lớn nhất

$A=\dfrac{27-12x}{{{x}^{2}}+9}$

$A=\dfrac{-\left( 4{{x}^{2}}+12x+9 \right)+4\left( {{x}^{2}}+9 \right)}{{{x}^{2}}+9}$

$A=\dfrac{-{{\left( 2x+3 \right)}^{2}}}{{{x}^{2}}+9}+4$

Ta có

$-{{\left( 2x+3 \right)}^{2}}\le 0$ với mọi $x$

${{x}^{2}}+9>0$ với mọi $x$

$\to \dfrac{-{{\left( 2x+3 \right)}^{2}}}{{{x}^{2}}+9}\le 0$ với mọi $x$

$\to \dfrac{-{{\left( 2x+3 \right)}^{2}}}{{{x}^{2}}+9}+4\le 4$ với mọi $x$

$\to A\le 4$ với mọi $x$

$\to {{A}_{\max }}=4$

Dấu “=” xảy ra khi $x=-\dfrac{3}{2}$