Đáp án:

a) $BC=15cm; AH=7,2cm$

b) $\triangle EBF\backsim\triangle EDC$

c) $BA.BI=BH.BD$

d) $BD\bot CF$

e) $\dfrac{S_{\triangle ABC}}{S_{\triangle BCD}}=\dfrac{8}{5}$

Giải thích các bước giải:

a)

$\triangle ABC$ vuông tại A:

$AB^2+AC^2=BC^2$ (định lý Pytago)

$\to BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{9^2+12^2}=15(cm)$

$S_{\triangle ABC}=\dfrac{1}{2}.AB.AC=\dfrac{1}{2}.AH.BC\\\to AB.AC=AH.BC\\\to AH=\dfrac{AB.AC}{BC}=\dfrac{9.12}{15}=7,2(cm)$

b)

$\triangle ABC$ vuông tại A:

$\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=90^o$ (2 góc phụ nhau)

$\triangle EDC$ vuông tại E:

$\widehat{EDC}+\widehat{ECD}=90^o$ (2 góc phụ nhau)

$\to\widehat{ABC}=\widehat{EDC}$

Xét $\triangle EBF$ và $\triangle EDC$:

$\widehat{BEF}=\widehat{DEC}\,\,\,(=90^o)$

$\widehat{EBF}=\widehat{EDC}$ (cmt)

$\to\triangle EBF\backsim\triangle EDC$ (g.g)

c)

Xét $\triangle ABD$ và $\triangle HBI$:

$\widehat{BAD}=\widehat{BHI}\,\,\,(=90^o)$

$\widehat{ABD}=\widehat{HBI}$ (gt)

$\to\triangle ABD\backsim\triangle HBI$ (g.g)

$\to\dfrac{BA}{BD}=\dfrac{BH}{BI}\\\to BA.BI=BH.BD$

d)

Xét $\triangle BFC$:

$CA\bot BF\,\,\,(CA\bot BA)\\FE\bot BC\,\,\,(DE\bot BC)$

D là giao điểm của CA và FE

$\to$ D là trực tâm của $\triangle BFC$

$\to BF\bot CF$

e)

$\triangle ABC$ có đường phân giác AD (gt)

$\to\dfrac{DA}{DC}=\dfrac{BA}{BC}=\dfrac{9}{15}=\dfrac{3}{5}\\\to DA=\dfrac{3}{5}DC$

Ta có:

$DA+DC=AC=12(cm)\\\to\dfrac{3}{5}DC+DC=AC\\\to8DC=5AC\\\to\dfrac{AC}{DC}=\dfrac{8}{5}$

$\to\dfrac{S_{\triangle ABC}}{S_{\triangle BCD}}=\dfrac{\dfrac{1}{2}.AB.AC}{\dfrac{1}{2}.AB.DC}=\dfrac{AC}{DC}=\dfrac{8}{5}$