M là trung điểm của AC -> AM = MC

Xét ΔABM và ΔCDM

có AM = MC (chứng minh trên)

     góc AMB = góc CMD (đối đỉnh)

     BM= MD (giả thiết)

 => ΔABM = ΔCDM (cạnh- góc- cạnh)

=> AB= CD ( 2 cạnh tương ứng), góc BAM = góc DCM ( 2 góc tương ứng) hay góc BAC = góc ACD

Có góc BAC = góc ACD

mà 2 góc ở vị trí so le trong 

=> AB // CD -> góc ABC = góc BCN

có AB= CD 

mà CD= CN (giả thiết)

=> AB= CN

Xét ΔABC và ΔNCB

có AB = CN (chứng minh trên)

     góc ABC = góc BCN (chứng minh trên)

     BC chung

 => ΔABC = ΔNCB (cạnh- góc- cạnh)

-> góc ACB =  góc CBN 

mà 2 góc ở vị trí so le trong 

=> BN // AC

     Vậy BN // AC

Xét tg ABCD có : M là  trung điểm của AC và BD

⇒ABCD là hình bình hành

⇒AB=CD và AB // CD (t/chất)

⇒AB=CN(=CD) và AB // CN

Xét ΔABC và ΔNCB có:

AB=CN(=CD)

ABC=NCB (2 góc slt do AB // CN)

⇒ΔABC=ΔNCB (c.g.c)⇒ACB=NBC (2 góc t/ứng)

Mà 2 góc này ở vị trí so le trong

⇒BN // AC (đpcm)