Giải thích các bước giải:

a.Ta có $I\in$ trung trực của $AB\to IA=IB$

           $I\in$ trung trực của $AC\to IA=IC$

$\to IB=IC$

$\to\Delta IBC$ cân tại $I$

b.Xét $\Delta IAB,\Delta IAC$ có:

Chung $AI$

$IB=IC$

$AB=AC$ vì $\Delta ABC$ cân tại $A$

$\to\Delta IAB=\Delta IAC(c.c.c)$

$\to \widehat{BAI}=\widehat{CAI}$

$\to AI$ là phân giác $\widehat{BAC}$

c.Ta có $I\in$ trung trực của $AB$

            $D$ là trung điểm $AB$

$\to ID\perp AB=D$

Tương tự $IE\perp AC=E$

Ta có $AI$ là phân giác $\widehat{BAC}$

$\to \widehat{BAI}=\widehat{IAC}=\dfrac12\widehat{BAC}=60^o$

$\to \widehat{DAI}=\widehat{EAI}=60^o$

Mà $ID\perp AB, IE\perp AC$

$\to \Delta IAD,\Delta IAE$ vuông tại $D,E$

$\to\widehat{DIA}=90^o-\widehat{DAI}=30^o$

      $\widehat{AIE}=90^o-\widehat{IAE}=30^o$

$\to\widehat{DIE}=\widehat{DIA}+\widehat{AIE}=60^o$

Lại có $AI$ là phân giác $\widehat{BAC}$

          $ID\perp AB, IE\perp AC$

$\to ID=IE$

$\to\Delta IDE$ cân tại $I$

Mà $\widehat{DIE}=60^o$

$\to\Delta IDE$ đều

d.Ta có $\Delta ABC$ cân tại $A, AI$ là phân giác $\widehat{BAC}$

            $AI\cap BC=M$

$\to M$ là trung điểm $BC$ và $AI\perp BC\to AM\perp BC$

Trên tia đối của tia $DM$ lấy điểm $F$ sao cho $DF=DM$

Xét $\Delta DAF,\Delta DBM$ có:
$DA=DB$

$\widehat{FDA}=\widehat{BDM}$

$DF=DM$

$\to\Delta DAF=\Delta DBM(c.g.c)$

$\to AF=BM,\widehat{FAD}=\widehat{DBM}$

$\to AF//BM$

Lại có $AM\perp BC\to AM\perp BM\to AM\perp AF$

Xét $\Delta AFM,\Delta MBA$ có:

Chung $AM$

$\widehat{FAM}=\widehat{BMA}(=90^o)$

$AF=BM$

$\to\Delta AFM=\Delta MBA(c.g.c)$

$\to MF=AB$

$\to 2DM=2DA$

$\to DM=DA$

Tương tự chứng minh được $EM=EA$

Xét $\Delta ADE,\Delta MDE$ có:

$DA=DM$

Chung $DE$

$EA=EM$

$\to\Delta ADE=\Delta MDE(c.c.c)$

$\to \widehat{DME}=\widehat{DAE}=120^o$