Đáp án:

Giải thích các bước giải:

 Vì vật chuyển động đều nên hợp lực bằng 0. $\vec{N}+\vec{P}+\vec{F_{ms}}+\vec{F}=\vec{0}$.

Chiếu theo chiều chuyển động của vật theo  phương mặt phẳng nghiêng ta có

$F.cos\beta - P.sin\alpha - F_{ms} = 0$⇔$F.cos\beta - P.sin\alpha -\mu.N=0.$(1)

Chiếu theo chiều vuông góc của mặt phẳng nghiêng ta có:

$N + F.sin\beta - P.cos\alpha = 0$ $\Leftrightarrow N = P.cos\alpha - F.sin\beta$.

Thay vào (1) ta có:

$F.cos\beta - P.sin\alpha - \mu.(P.cos\alpha - F.sin\beta) = 0 \Rightarrow F(cos\beta + \mu.sin\beta) = P.(sin\alpha + \mu.cos\alpha)$.

⇒$F=\frac{P.(sin\alpha + \mu.cos\alpha)}{cos\beta + \mu.sin\beta}=P. \frac{\sqrt{6}+3\sqrt{2}}{6}(N)$

 Đặt $\mu.sin\beta+cos\beta=m$⇒$\mu.sin\beta+cos\beta-m=0$

.Đây là phương trình bậc nhất đối với $sinx$ và $cosx$. Điều kiện có nghiệm của phương trình: $\mu^2+1 \geq m^2 ⇒ m \le \sqrt{\mu^2+1}$.

Vậy:

$F_{min}=\frac{mg(sin\alpha+\mu.cos\alpha)}{\sqrt{\mu^2+1}}$.

Để tìm $\beta$ ta giải phương trình

$\mu.sin\beta+cos\beta=\sqrt{\mu^2+1}$

$sin(\beta+φ)=1⇒\beta+φ=\frac{\pi}{2}$⇒$\beta=\frac{\pi}{2}-φ$

với

$cosφ=\frac{\mu}{\sqrt{\mu^2+1}}$; $sinφ=\frac{1}{\sqrt{\mu^2+1}}$.

Ta có $tan\beta=(tan\frac{\pi}{2}-φ)=cotφ= \mu$. Vậy $\beta=arctan\mu=30^o$