Giải thích các bước giải:

a.Ta có $BC$ là đường kính của $(O)\to BD\perp DC, CE\perp BE$

$\to \widehat{ADH}=\widehat{AEH}=90^o$
$\to AEHD$ nội tiếp đường tròn đường kính $AH$

b.Ta có $BD\perp AC, CE\perp AB, BD\cap CE=H$

$\to H$ là trực tâm $\Delta ABC\to AH\perp BC\to AI\perp BC$

Xét $\Delta CDB,\Delta CIA$ có:

Chung $\hat C$

$\widehat{CDB}=\widehat{CIA}=90^o$

$\to\Delta CIA\sim\Delta CDB(g.g)$

$\to \dfrac{CI}{CD}=\dfrac{CA}{CB}$

$\to CD.CA=CI.CB$

Tương tự $BE.BA=BI.BC$

$\to CD.CA+BE.BA=CI.CB+BI.BC=(CI+BI).BC=BC^2$

c.Ta có $AM$ là tiếp tuyến của $(O)\to \widehat{AME}=\widehat{ABM}$

Mà $\widehat{MAE}=\widehat{MAB}$

$\to\Delta AME\sim\Delta ABM(g.g)$

$\to\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AE}{AM}$

$\to AM^2=AE.AB$

Lại có $\widehat{AEH}=\widehat{AIB}=90^o,\widehat{EAH}=\widehat{BAI}$

$\to\Delta AEH\sim\Delta AIB(g.g)$

$\to\dfrac{AE}{AI}=\dfrac{AH}{AB}$

$\to AE.AB=AH.AI$

$\to AM^2=AH.AI$

$\to\dfrac{AM}{AH}=\dfrac{AI}{AM}$

Lại có $\widehat{MAH}=\widehat{MAI}$

$\to\Delta AMH\sim\Delta AIM(c.g.c)$

$\to\widehat{AMH}=\widehat{AIM}$

Ta có $AM,AN$ là tiếp tuyến của $(O)\to AM\perp OM, AN\perp ON$

$\to \widehat{AMO}=\widehat{AIO}=\widehat{ANO}=90^o$

$\to A,M,I,O,N\in$ đường tròn đường kính $AO$

$\to \widehat{AMN}=\widehat{AIM}$ vì $AM=AN$

$\to \widehat{AMN}=\widehat{AMH}$

$\to M,H,N$ thẳng hàng