`d)` Vì `ABOC` nội tiếp (câu a)

`=>A;B;O;C` cùng thuộc một đường tròn `(1)`

$\\$

Vì `K` là trung điểm $E F$ (gt)

`=>OK`$\perp E F$ tại $K$ (đường nối tâm vuông góc tại trung điểm dây cung)

`=>\hat{AKO}=90°`

`=>\hat{ABO}=\hat{AKO}=90°`

`=>` Hai đỉnh `B;K` cùng nhìn cạnh `AO` dưới góc vuông

`=>ABKO` nội tiếp 

`=>A;B;K;O` cùng thuộc một đường tròn `(2)`

$\\$

Từ `(1);(2)=>A;B;K;O;C` cùng thuộc một đường tròn

`=>A;B;K;C` cùng thuộc một đường tròn hay `ABKC` nội tiếp 

`=>\hat{BAK}=\hat{BCK}` `(3)`

(hai góc nội tiếp cùng chắn cung `BK)`

$\\$

Vì `MK`//$BF$ (gt)

`=>\hat{MKE}=\hat{BFE}` (hai góc đồng vị)

Mà `\hat{BFE}=\hat{MCE}` (hai góc nội tiếp `(O)` cùng chắn cung `BE)`

`=>\hat{MKE}=\hat{MCE}`

`=>` Hai đỉnh `K;C` cùng nhìn cạnh `ME` dưới hai góc bằng nhau

`=>MECK` nội tiếp 

`=>\hat{MEK}=\hat{MCK}=\hat{BCK}` `(4)`

(cùng chắn cung `MK)`

Từ `(3);(4)=>\hat{BAK}=\hat{MEK}`

Mà hai góc `\hat{BAK};\hat{MEK}` ở vị trí đồng vị

`=>EM`//$AB$

`=>EM`//`AN; MD`//$NB$

$\\$

Gọi `D` là giao điểm của `EM` và `BF`

Áp dụng hệ quả định lý Talet:

+) Xét `\Delta ANF` có `EM`//$AN$

`=>{EM}/{AN}={FM}/{FN}`

$\\$

+) Xét `\Delta BNF` có `MD`//$NB$

`=>{MD}/{NB}={FM}/{FN}`

$\\$

`=>{EM}/{AN}={MD}/{NB}` $(5)$

$\\$

Xét `\Delta DE F` có:

`\qquad K` là trung điểm $E F$ (gt)

`\qquad MK`//$DF$ (do `MK`//$BF$)

`=>M` là trung điểm $ED$ 

`=>EM=MD` $(6)$

$\\$

Từ `(5);(6)=>AN=NB`

`=>N` là trung điểm $AB$ (đpcm)