Đáp án:

Giải chi tiết:

a) Do tam giác ABC cân tại A, suy ra AB = AC.

Ta có: AM + AN = AB – BM + AC + CN = 2AB – BM + CN.

Ta lại có AM + AN = 2AB(gt), nên suy ra 2AB−BM+CN=2AB⇔−BM+CN=0⇔BM=CN2AB−BM+CN=2AB⇔−BM+CN=0⇔BM=CN

b) Gọi I là giao điểm của MN và BC.Vậy BM = CN (đpcm)

Qua M kẻ đường thẳng song song với AC cắt BC tại E.

Do ME // NC nên ta có:

ˆCNI=ˆIMECNI^=IME^(hai góc so le trong)

ˆMEI=ˆNCIMEI^=NCI^(hai góc so le trong)

Ta chứng minh được ΔMEI=ΔNCI(g.c.g)ΔMEI=ΔNCI(g.c.g)

Suy ra MI = NI (hai cạnh tương ứng), từ đó suy ra I là trung điểm của MN.

c) Xét hai tam giác MIK và NIK có:

MI = IN (cmt), ˆMIK=ˆNIK=900MIK^=NIK^=900

IK là cạnh chung. Do đó ΔMIK=ΔNIK(c.g.c)ΔMIK=ΔNIK(c.g.c).

Suy ra KM = KN (hai cạnh tương ứng).

Xét hai tam giác ABK và ACK có: AB = AC(gt), ˆBAK=ˆCAKBAK^=CAK^(do BK là tia phân giác của góc BAC), AK là cạnh chung, do đó ΔABK=ΔACK(c.g.c)ΔABK=ΔACK(c.g.c). Suy ra KB = KC (hai cạnh tương ứng).

Xét hai tam giác BKM và CKN có: MB = CN, BK = KN, MK = KC, do đó △BKM=△CKN(c.c.c)△BKM=△CKN(c.c.c), suy ra ˆMBK=ˆKCNMBK^=KCN^. Mà ˆMBK=ˆACK⇒ˆACK=ˆKCN=1800:2=900⇒KC⊥AN.MBK^=ACK^⇒ACK^=KCN^=1800:2=900⇒KC⊥AN.(đpcm)

Giải thích các bước giải: