Đáp án:

a) $\Delta DEF$ cân tại $D\Rightarrow DE=DF$.

$DH$ là tia phân giác của $\widehat{EDF}\Rightarrow\widehat{EDH}=\widehat{FDH}$.

Xét hai tam giác $\Delta DEH$ và $\Delta DFH$ có:

$\left.\begin{array}{l}DE=DF\,(\rm cmt)\\\widehat{EDH}=\widehat{FDH}\,\rm(cmt)\\DH\rm\ là\ cạnh\ chung\end{array}\right\}\Delta DEH=\Delta DFH\,\rm(cgc)$

$\Rightarrow\widehat{DHE}=\widehat{DHF}$ (hai góc tương ứng).

Mà $\widehat{DHE}+\widehat{DHF}=180^\circ$ (kề bù).

$\Rightarrow\widehat{DHE}=\widehat{DHF}=\dfrac{180^\circ}2=90^\circ$

$\Rightarrow DH\,\bot\,EF$.

b) $\Delta DEH=\Delta DFH\Rightarrow EH=FH$ (hai cạnh tương ứng).

$\Rightarrow H$ là trung điểm của $EF$.

$\Rightarrow DH$ là đường trung tuyến của $\Delta DEF$.

$K$ là trung điểm của $DF$.

$\Rightarrow EK$ là đường trung tuyến của $\Delta DEF$.

$DH$ và $EK$ là đường trung tuyến mà $DH\cap EK=G$

$\Rightarrow G$ là trọng tâm của $\Delta DEF$.

$\Rightarrow FG$ đi qua trọng tâm của $\Delta DEF$.

$\Rightarrow FG$ đi qua trung điểm của $DE$.

c) Ta có $EH=FH$ mà $EH+FH=EF=8cm$.

$\Rightarrow EH=FH=\dfrac{EF}2=\dfrac82=4cm$.

Xét tam giác vuông $\Delta DEH$ có $DE=10cm$, $EH=4cm$.

Áp dụng định lý Pytagoras ta có:

$DE^2=DH^2+EH^2$

$\Rightarrow DH^2=DE^2-EH^2$

$\Rightarrow DH=\sqrt{DE^2-EH^2}$

$\Rightarrow DH=\sqrt{10^2-4^2}$

$\Rightarrow DH=\sqrt{84}cm$.

Ta có $DG=\dfrac23DH=\dfrac23\sqrt{84}$

$=\dfrac{2\sqrt{84}}3=\dfrac{\sqrt4\sqrt{84}}3=\dfrac{\sqrt{336}}3cm$.

Vậy $GD=\dfrac{\sqrt{336}}3cm$.