`a)` `AB=6cm; AC=8cm`

 Vì `\Delta ABC` vuông tại `A` (gt)

`=>BC^2=AB^2+AC^2` (định lý Pytago)

`=>BC=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{100}=10cm`

Vậy `BC=10cm`

$\\$

`b)` Xét `\Delta ABI` và `\Delta HBI` có:

`\qquad \hat{BAI}=\hat{BHI}=90°`

`\qquad BI` là cạnh chung

`\qquad \hat{ABI}=\hat{HBI}` (vì `BI` là phân giác `\hat{ABC})`

`=>\Delta ABI=\Delta HBI` (ch-gn)

`=>IA=IH; AB=HB` (cặp cạnh tương ứng)

`=>\Delta ABH` cân tại `B`

`=> BI` vừa là đường phân giác và đường trung trực của `\Delta ABH`

`=>BI` là đường trung trực của `AH` (đpcm)

_______

Hoặc: `\Delta ABI=\Delta HBI`

`=>AB=BH; AI=HI` (cặp cạnh tương ứng)

`=>BI` là đường trung trực của `AH` (vì `B;I` cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng `AH)`

$\\$

`d)` Xét `\Delta IHC` vuông tại `H` có:

`IH<IC` (cạnh góc vuông < cạnh huyền)

Mà `IA=IH` (câu b)

`=>IA<IC` (đpcm)

$\\$

`e)` Xét `\Delta KBC` có:

$\quad KH\perp BC$ tại $H$

$\quad CA\perp BK$ tại $A$

$\quad KH$ cắt $CA$ tại $I$

`=>I` là trực tâm `\Delta KBC` (`I` là giao điểm các đường cao của `\Delta KBC)`