a) Xét ΔABC cân tại A , có :

AC² = BC² - AB² ( pytago )

=> AC² = 5² - 4²

             = 25 - 16

             = 9

=> AC = 3 ( cm )

b) Xét ΔABE và ΔHBE , có :

`\hat{BAE}` = `\hat{BHE}`= $90^{o}$ 

`\hat{ABE}` = `\hat{EBH}` ( BE là tia phân giác )

BE chung

=> ΔABE = ΔHBE ( ch.gn )

c) Ta có BE là tia phân giác

=> `\hat{ABE}` = `\hat{EBH}` = $\frac{60^o}{2}$ = $30^{o}$ 

Xét ΔABE có :

`\hat{BAE} = $90^{o}$ 

`\hat{ABE} = $30^{o}$

=> `\hat{AEB}` = $60^{o}$

Chứng minh tương tự với ΔBEH

=> `\hat{BEH}`= $60^{o}$

Mà `\hat{AEB}` + `\hat{BEH}` + `\hat{KEH}` = $180^{o}$

=> `\hat{KEH}` = $60^{o}$

Mà BE || HK ( gt )

=> `\hat{EHK}` = `\hat{KEH}` = $60^{o}$ ( 2 góc đồng vị )

Tổng 3 góc = $180^{o}$ => `\hat{EKH}` = $60^{o}$

=> ΔEHK đều .

d) Xét ΔAEM và ΔHEC , có :

`\hat{MAE}`= `\hat{CHE}` = $90^{o}$

`\hat{AEM}` = `hat{HEC}` ( đối đỉnh )

AE = EH ( ΔABE = ΔEBH )

=> ΔAEM = ΔHEC ( cgv. gn )

=> AM = HC (1)

Mà AB = BH ( ΔABE = ΔEBH ) (2)

Từ (1) và (2) => BM = BC

=> ΔMBC cân tại B

Ta có : MH ⊥ BC ( gt )

            CA ⊥ MB ( gt )

mà   MH ∩ CA ∩ BH = { E }

=> BN là đường cao ( ⊥ MC )

=> BN là đường trung tuyến của ΔMBC

=> MN = NC ( đccm ).