Bài làm:

`a)` Vì `\triangle\text{ABC}` vuông cân tại `\text{A}` nên `\hat\text{ABC}=\hat\text{ACB}=45^{\text{o}}`

Xét `\triangle\text{ABC}` có`:`

`\hat\text{ABC}+\hat\text{ACB}=90^\text{o}` `(`Tổng hai góc trong một tam giác vuông`)`

`=>2.(1/2\hat\text{ABC}+1/2\hat\text{ACB})=90^\text{o}`

`=>\hat\text{IBC}+\hat\text{ICB}=45^\text{o}`

Xét `\triangle\text{IBC}` có`:`

`\hat\text{IBC}+\hat\text{ICB}+\hat\text{BIC}=180^\text{o}` `(`Tổng ba góc trong một tam giác`)`

Hay `45^\text{o}+\hat\text{BIC}=180^\text{o}`

`=>\hat\text{BIC}=180^\text{o}-45^\text{o}=135^\text{o}`

Vậy `\hat\text{BIC}=135^\text{o}`

`b)` Vì `\text{C},\text{D}\in\text{AC}`

Mà `\text{AC}` là đường trung trực của `\text{IN}`

Nên `\text{DI}``=``\text{DN}` và `\text{CI}``=``\text{CN}`

Xét `\triangle\text{IDC}` và `\triangle\text{NDC}` có`:`

`\text{DI}``=``\text{DN}` `(\text{cmt})`

`\text{CI}``=``\text{CN}` `(\text{cmt})`

`\text{CD}` cạnh chung

`=>``\triangle\text{IDC}=\triangle\text{NDC}` `(\text{c.c.c})`

`c)` Gọi `\text{H,K,F}` lần lượt là giao điểm của ba cặp đường thẳng `\text{AC}` và `\text{IN, BC}` và `\text{IM},``\text{EC}` và `\text{MN}`

Xét `\triangle\text{HIC}` vuông tại `\text{H}` có`:`

`\hat\text{HIC}+\hat\text{HCI}=90^\text{o}` `(`Tổng hai góc trong một tam giác vuông`)`

Hay `22,5^\text{o}+\hat\text{HIC}=90^\text{o}`

`=>\hat\text{HIC}=90^\text{o}-22,5^\text{o}=67,5^\text{o}`

`=>\hat\text{NIF}=67,5^\text{o}` `(1)`

Xét `\triangle\text{IKC}` vuông tại `\text{K}` có`:`

`\hat\text{KIC}+\hat\text{KCI}=90^\text{o}` `(`Tổng hai góc trong một tam giác vuông`)`

Hay `\hat\text{KIC}+22,5^\text{o}=90^\text{o}`

`=>\hat\text{KIC}=90^\text{o}-22,5^\text{o}=67,5^\text{o}`

`=>\hat\text{MIF}=67,5^\text{o}` `(2)`

Từ `(1)` và `(2)` suy ra`:` `\hat\text{NIF}=\hat\text{MIF}(=67,5^\text{o})`

Áp dụng tính chất ba đường phân giác vào `\triangle\text{ABC}` ta được`:` `\text{IH}=\text{IK}`

Lại có`:` `{(\text{IH = HN}),(\text{IK = KM}):}`

Suy ra`:` `\text{IH = HN = IK = KM}`

`=>\text{ IH + HN = IK + KM}`

Hay `\text{IN = IM}`

Xét `\triangle\text{INF}` và `\triangle\text{IMF}` có`:`

`\text{IN = IM}` `(\text{cmt})`

`\hat\text{NIF}=\hat\text{MIF}(=67,5^\text{o})`

`\text{IF}` cạnh chung

`=>``\triangle\text{INF}=\triangle\text{IMF}` `(\text{c.g.c})`

`=>``\hat\text{IFN}=\hat\text{IFM}` `(`Hai góc tương ứng`)`

Mà `\hat\text{IFN}+\hat\text{IFM}=180^\text{o}` `(`Hai góc kề bù`)`

`=>``\hat\text{IFN}=\hat\text{IFM}=90^\text{o}`

Suy ra`:` `{(\text{EC}\bot\text{FN}),(\text{EC}\bot\text{FM}):}`

Từ `\triangle\text{IDC}=\triangle\text{NDC}` `(\text{cmt})`

`=>``\hat\text{IDC}=\hat\text{NDC}` `(`Hai góc tương ứng`)` `(3)`

Xét `\triangle\text{IDC}` có`:`

`\hat\text{BIC}=\hat\text{IDC}+\hat\text{ICD}` `(`Tính chất góc ngoài của một tam giác`)`

Hay `135^\text{o}=\hat\text{IDC}+22,5^\text{o}`

`=>``\hat\text{IDC}=135^\text{o}-22,5^\text{o}=112,5^\text{o}` `(4)`

Từ `(3)` và `(4)` suy ra`:` `\hat\text{IDC}=\hat\text{NDC}=112,5^\text{o}` `(5)`

Xét `\triangle\text{FDC}` vuông tại `\text{F}` có`:`

`\hat\text{FDC}+\hat\text{FCD}=90^\text{o}` `(`Tổng hai góc trong một tam giác vuông`)`

Hay `\hat\text{FDC}+22,5^\text{o}=90^\text{o}`

`=>\hat\text{FDC}=90^\text{o}-22,5^\text{o}=67,5^\text{o}` `(6)`

Từ `(5)` và `(6)` suy ra`:` `\hat\text{NDC}+\hat\text{FDC}=112,5^\text{o}+67,5^\text{o}=180^\text{o}`

Suy ra`:` `\text{N, D, F}` thẳng hàng

Mà `\text{M, F, N}` thẳng hàng `(`Vì `\text{F}` là giao điểm của `\text{MN}` và `\text{EC}``)`

Suy ra`:` `\text{D, M, N}` thẳng hàng `(\text{đpcm})`