Đáp án:

Giải thích các bước giải:

 Đặt $\overline{abcd}=n^2( n∈ \mathbb{Z})$. Đặt $\overline{dcba}=m^2(m ∈ \mathbb{Z})$. Do $1000\geq m^2, n^2 \leq 9999⇒32 \geq m,n \leq 99$. $\overline{abcd}$ và $\overline{dcba}$ đều chính phương nên: $a,d$ ∈{1;4;6;9} và $a<d$(1).

Do$ \overline{dcba}$ chia hết cho $\overline{abcd}$ nên: $m² $ chia hết cho $n^2$ hay m chia hết cho n. Đặt $m = k.n với k ∈ \mathbb{ N}$ và $k \geq  2$ nên $\overline{dcba} = k². \overline{abcd}$

Ta có: $m = k.n  \leq 99$  và  $n\geq 32 $⇒ $32.k.n \leq 99n => k \leq \frac{99}{32} => k \leq 3 $

Như vậy: $k = 2$ hoặc $3$

+Nếu k = 2 thì: $\overline{dcba} = 4.\overline{abcd}$ (2) Theo (1) $a,d$ ∈ {1,4,6,9}

+Nếu a=4 thì: $\overline{dcb4} = \overline{4bcd} . 4 > 9999$ ⇒ a chỉ có thể là 1. Khi đó: $\overline{dcb1} = 4. \overline{1bcd} ≤ 4.1999 = 7996 ⇒ d ≤ 7$. Kết hợp với (1) được: $d= 4$ hoặc $d =6 $

Với $d=4$ : (2) ⇔ $390b+15=60c <=> 26b+1=4c$ (vô lý vì vế trái chẵn còn vế phải lẻ)

Với $d = 6$: (2) ⇔ $390b+23 = 60c+2000 $(cũng vô lý)

+Như vậy: $k =3$. Khi đó: $\overline{dcba} = 9.\overline{abcd}$ (3) a chỉ có thể là 1 và $d = 9$. Khi đó: (3) <=> $\overline{9cb1} = 9.\overline{1bc9} ⇔10c = 800b+80 <=> c = 80b+8$

Điều này chỉ có thể xảy ra ⇔ $b=0$ và $c=8$

KL: số phải tìm là: 1089