Giải chi tiết:

a) Chứng minh tứ giác MNAC nội tiếp.

Do ∠ACB∠ACB là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn nên ∠ACB=900⇒∠ACM=900∠ACB=900⇒∠ACM=900.

Xét tứ giác MNACMNAC có ∠ACM+∠ANM=900+900=1800∠ACM+∠ANM=900+900=1800

⇒⇒ Tứ giác MNACMNAC là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180⁰).’

b) Tính độ dài CH và tan∠ABCtan⁡∠ABC

Ta có: BH=AB−AH=6−1=5(cm)BH=AB−AH=6−1=5(cm)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABC có: AH2=HA.HB=1.5=5⇒AH=√5(cm)AH2=HA.HB=1.5=5⇒AH=5(cm)

⇒tan∠ABC=HAHB=√55=1√5⇒tan⁡∠ABC=HAHB=55=15

c) Chứng minh NC là tiếp tuyến của đường tròn (O)(O).

Ta có MN⊥AB;CH⊥AB⇒MN//CHMN⊥AB;CH⊥AB⇒MN//CH

⇒∠AMN=∠ADC⇒∠AMN=∠ADC (so le trong)

Mà ∠AMN=∠ACN∠AMN=∠ACN (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AN) ⇒∠ACN=∠ADC⇒∠ACN=∠ADC.

Mà ∠ADC∠ADC nội tiếp chắn cung AC, ∠ACN∠ACN ở vị trí góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung chắn cung AC.

 ⇒CN⇒CN là tiếp tuyến của đường tròn (O)(O) tại C.

d) Tiếp tuyến tại A của đường tròn (O)(O) cắt NC tại E. Chứng minh đường thẳng EB đi qua trung điểm của đoạn thẳng CH.

Kéo dài AE cắt BM tại F.

Ta có EA=EC(1)EA=EC(1) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) ⇒ΔEAC⇒ΔEAC cân tại E ⇒∠EAC=∠ECA⇒∠EAC=∠ECA

⇒900−∠EAC=900−∠ECA⇔∠EFC=∠ECF⇒ΔEFC⇒900−∠EAC=900−∠ECA⇔∠EFC=∠ECF⇒ΔEFC cân tại E ⇒EC=EF⇒EC=EF (2)

Từ (1) và (2) ⇒EA=EC=EF⇒EA=EC=EF

Ta có AF⊥AB(gt);CH⊥AB(gt)⇒AF//CHAF⊥AB(gt);CH⊥AB(gt)⇒AF//CH

Gọi I=BE∩AFI=BE∩AF, áp dụng định lí Ta-let ta có: HIAE=BIBE;CIEF=BIBE⇒HIAE=CIEFHIAE=BIBE;CIEF=BIBE⇒HIAE=CIEF.

Mà AE=EF(cmt)⇒HI=CI⇒IAE=EF(cmt)⇒HI=CI⇒I là trung điểm của HC. (đpcm) 

chúc bạn học giỏi