1) Ta có: $\widehat {A{\text{E}}B} = {90^ \circ }$(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Xét tứ giác $EHBD$, ta có:

$\widehat {A{\text{E}}B} = \widehat {DHB}( = {90^ \circ })$

$\Rightarrow EHBD$ là tứ giác nội tiếp (do hai góc chắn cũng cung $BD$ bằng nhau)

2) *Ta có: $\widehat {DCB} = \widehat {CAB}$ ( góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung chắn cùng cung $BC$ bằng nhau)

Xét $\Delta OBC$, ta có:

$OB=OC$

$\Rightarrow \Delta OBC$ cân tại $O$

$ \Rightarrow \widehat {OCB} = \widehat {OBC} \\ \widehat {OC{\text{D}}} = \widehat {OCB} + \widehat {DCB} \\ = \widehat {OBC} + \widehat {CAB} \\ = {90^ \circ }(\Delta CAB \bot C) \\ \Rightarrow CO \bot C{\text{D}} \\ $

$\Rightarrow CD$ là tiếp tuyến của đường tròn $(O)$

* Áp dụng hệ thức lượng vào $ \Delta AB{\text{D}} \bot B \\ \Rightarrow A{\text{E}}.A{\text{D}} = A{B^2} = {(2.OB)^2} = 4.{\text{O}}{B^2}(1) \\ $

Áp dụng hệ thức lượng vào $ \Delta OB{\text{D}} \bot B \\ \Rightarrow OH.O{\text{D}} = O{B^2}(2) \\ (1)(2) \Rightarrow A{\text{E}}.A{\text{D}} = 4.OH.O{\text{D}} \\ {\text{3)CA}} \cap {\text{BD}} = Q \\ BI \cap AQ = T \\ \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {DH \bot BC} \\ {CQ \bot BC} \end{array}} \right. \\ \Rightarrow H{\text{D}}//CQ \\ \Delta BHI \sim \Delta B{\text{D}}T(g - g) \\ \Rightarrow \dfrac{{HI}}{{CT}} = \dfrac{{BI}}{{BT}} \\ \Delta BI{\text{D}} \sim \Delta BTQ(g - g) \\ \Rightarrow \dfrac{{I{\text{D}}}}{{TQ}} = \dfrac{{BI}}{{BT}} \\ \Rightarrow \dfrac{{HI}}{{CT}} = \dfrac{{I{\text{D}}}}{{TQ}} \\ IH = I{\text{D}} \\ \Rightarrow CT = TQ \\ $

Xét $\Delta CBQ$, ta có:

$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {CT = TQ} \\ {HC = HB} \end{array}} \right. \\ \Rightarrow HT//BQ \\ BQ \bot AB \\ \Rightarrow HT \bot AB \\ $

Xét $\Delta ATB$, ta có:

$HT; CB$ là đường cao trong tam giác

$ H = HT \cap BC \\ \Rightarrow AH \bot TB \\ \widehat {AFB} = {90^ \circ } \\ \Rightarrow AF \bot TB \\ $

$\Rightarrow A; H; F$ thẳng hàng

Vậy $HF \bot BI$(đpcm)