`a)`

Xét `ΔABC` vuông tại `A` `,` theo định lí Py - ta - go `,` ta có `:`

`BC^2 = AB^2 + AC^2`

Mà `AB = 6 ; AC = 8`

`=> BC^2 = 6^2 + 8^2`

`=> BC^2 = 100 ,` mà `BC > 0`

`=> BC^2 = 10^2`

`=> BC = 10 (  cm  )`

`b)`

Vì `BD` là tia phân giác của $\widehat{ABC}$

`=>` $\widehat{ABD}$ `=` $\widehat{CBD}$

`=>` $\widehat{ABD}$ `=` $\widehat{MBD}$

Vì `ΔABC` vuông tại `A` 

`=>` $\widehat{BAD}$ `=` $90^\circ$

 Vì `DM ⊥ BC` tại `M` 

`=>` $\widehat{DMB}$ `=` $90^\circ$

Xét  `Δ ABD` và `ΔDMB` có `:`

$\widehat{DMB}$ `=` $\widehat{BAD}$ `=` $90^\circ$

`BD` là cạnh chung

$\widehat{ABD}$ `=` $\widehat{MBD}$

`=>` `Δ ABD` `=` `ΔDMB` `(` cạnh huyền `-` góc nhọn `)`

`c)`

Ta có `:`  `AD ⊥ AB` tại `A`

`=> AC ⊥ BF` tại `A`

`=>` Đoạn thẳng `AC` là đường cao của `ΔBCF`

Ta có `:` `MD ⊥ BC` tại `M`

`=> FM ⊥ BC` tại `M`

`=>` Đoạn thẳng `MF` là đường cao của `ΔBCF`

Mà `AC` và `MF` cắt nhau tại `D` 

`=>` `D` là trực tâm của `ΔBCF`

Xét `ΔFBH` và `ΔCBH` có `:`

`HF = HC (` vì `H` là trung điểm của `FC` `)`

$\widehat{FBH}$ `=` $\widehat{CBH}$ `(` theo ý `b` `)`

`BH` là cạnh chung

`=>` `ΔFBH` và `ΔCBH` `(` `c.g.c` `)`

`=>`  $\widehat{BHF}$ `=` $\widehat{BHC}$ `(` `2` góc tương ứng `)`

`=> BH ⊥ FC` tại `H`

`=>` Đoạn thẳng `BH` là đường cao của đường cao của `ΔBCF`

Mà `D` là trực tâm của `ΔBCF`

`=> D ∈ BH`

`=> 3` điểm `D , B ,H` thẳng hàng